Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr -2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, une droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{n} est orthogonale à un plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, il faut donc que \overrightarrow{w} soit orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 3\times 5 + 2\times (-2) + 0\times(-1)\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 15 -4 + 0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 11
\overrightarrow{w} n'est donc pas orthogonal à \overrightarrow{u}.
Ainsi, (d) n'est pas orthogonale à \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \cr\cr -1 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, une droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{n} est orthogonale à un plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, il faut donc que \overrightarrow{w} soit orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2} + (-1)\times 2 + 4\times(-3)\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -\dfrac{1}{3} -2 -12\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -\dfrac{1}{3} -\dfrac{42}{3}\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -\dfrac{43}{3}
\overrightarrow{w} n'est donc pas orthogonal à \overrightarrow{u}.
Ainsi, (d) n'est pas orthogonale à \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 2 \cr\cr -4 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, une droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{n} est orthogonale à un plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, il faut donc que \overrightarrow{w} soit orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -3\times 4 + 0\times 6 + 4\times3\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -12+ 0 + 12\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = -0\times 4 + 2\times 6 + (-4)\times3\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0 + 12 - 12\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{v}.
Ainsi, (d) est orthogonale à \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \sqrt{2} \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \cr\cr -\sqrt{3} \cr\cr \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, une droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{n} est orthogonale à un plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, il faut donc que \overrightarrow{w} soit orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = \sqrt{2}\times 2\sqrt{2} + \sqrt{3}\times (-\sqrt{3}) + (-2)\times\dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 4 - 3 -1\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\times 2\sqrt{2} + \sqrt{3}\times (-\sqrt{3}) + 2\times\dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 2 -3 +1\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{v}.
Ainsi, (d) est orthogonale à \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{1}{4} \cr\cr \sqrt{5} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} \cr\cr -\dfrac{3}{16} \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.
La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, une droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{n} est orthogonale à un plan \mathcal{P} si et seulement si \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, il faut donc que \overrightarrow{w} soit orthogonal à \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
On a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} =\dfrac{1}{3}\times 6 + \left( -\dfrac{1}{4} \right)\times 8 + \sqrt{5}\times0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 2 - 2 +0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = \dfrac{1}{4}\times 6 + \left( -\dfrac{3}{16} \right)\times 8 + 2\times0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = \dfrac{3}{2} -\dfrac{3}{2} +0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{w} est donc orthogonal à \overrightarrow{v}.
Ainsi, (d) est orthogonale à \mathcal{P}.