Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère :
- la parabole d'équation \mathcal{P}\: : \: y=-3\,{x}^{2}+7\,x-1 ;
- la droite \mathcal{D} d'équation y=-7x+2.
Quelles sont les coordonnées des éventuels points d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} ?
On commence par résoudre l'équation suivante :
-3x^2+7x-1=-7x+2\Rightarrow -3x^2+14x-3=0
Le discriminant est :
\Delta=(14)^2-4\times (-3) \times (-3)=160
Les deux racines associées sont :
x_1=\frac{-14-\sqrt{160}}{-6}=\frac{7+2\sqrt{10}}{3}\quad \\x_2=\frac{-14+\sqrt{160}}{-6}=\frac{7-2\sqrt{10}}{3}
On doit alors exploiter l'équation de la droite \mathcal{D} pour obtenir les ordonnées associées :
y_1=-7x_1+2 \text{ et } y_2=-7x_2+2
On obtient donc les points d'intersection suivants :
A\left( \frac{7-2\sqrt{10}}{3}; \frac{14\sqrt{10} - 43}{3}\right) \quad \\B\left( \frac{7+2\sqrt{10}}{3}; \frac{-14\sqrt{10} - 43}{3}\right)
Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère :
- la parabole d'équation \mathcal{P}\: : \: y=-5x^2-5x+2 ;
- la droite \mathcal{D} d'équation y=-x+1.
Quelles sont les coordonnées des éventuels points d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} ?
On commence par résoudre l'équation suivante :
-5x^2-5x+2=-x+1\Rightarrow -5x^2-4x+1=0
Le discriminant est :
\Delta=(-4)^2-4\times (-5)\times 1=36
Les solutions sont donc :
x_1=\frac{4-\sqrt{36}}{-10}=\frac{1}{5} \quad\\ x_2=\frac{4+\sqrt{36}}{-10}=-1
On obtient alors les ordonnées à l'aide de l'équation de la droite \mathcal{D} :
y_1=-\frac{1}{5}+1=\frac{4}{5}\quad\\ y_2=-(-1)+1=2
On obtient donc les points d'intersection suivants :
A(-1;2) \\ B\left( \frac{1}{5};\frac{4}{5}\right)
Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère :
- la parabole d'équation \mathcal{P}\: : \: y=2x^2-3x+5 ;
- la droite \mathcal{D} d'équation y=3x-1.
Quelles sont les coordonnées des éventuels points d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} ?
On commence par résoudre l'équation suivante :
2x^2-3x+5=3x-1\Rightarrow 2x^2-6x+6=0
Le discriminant est :
\Delta=(-6)^2-4\times 6 \times 2=-12 \lt 0
Il n'y a pas de solutions réelles à l'équation.
Il n'y a donc aucun point d'intersection.
Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère :
- la parabole d'équation \mathcal{P}\: : \: y=4\,{x}^{2}-3\,x+1 ;
- la droite \mathcal{D} d'équation y=-\frac{x}{3}+\frac{5}{9}.
Quelles sont les coordonnées des éventuels points d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} ?
On commence par résoudre l'équation suivante :
4x^2-3x+1=-x/3+5/9\Rightarrow 4x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}=0
En multipliant cette équation par 9, on obtient :
36x^2-24x+4=0
Puis, en divisant par 4, on obtient :
9x^2-6x+1=0
Le discriminant est :
\Delta=6^2-4\times (9) \times (1)=0
L'unique racine est donc :
x_0=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}
On doit exploiter l'équation de la droite \mathcal{D} pour obtenir les ordonnées associées :
y_0=-x_0/3+5/9
On obtient donc comme seul point d'intersection :
A\left( \frac{1}{3}; \frac{4}{9}\right)
Dans le plan muni d'un repère quelconque, on considère :
- la parabole \mathcal{P} d'équation y=4x^2-5x+9 ;
- la droite \mathcal{D} d'équation y=7x+1.
Quelles sont les coordonnées des éventuels points d'intersection de \mathcal{P} et de \mathcal{D} ?
On commence par résoudre l'équation suivante :
4x^2-5x+9=7x+1
4x^2-12x+8=0
Le discriminant est :
\Delta=(-12)^2-4\times 8\times 4=16
Les deux solutions sont :
x_1=\frac{12+\sqrt{16}}{8}=2,\quad\\ x_2=\frac{12-\sqrt{16}}{8}=1
Chacune de ces solutions correspond à une abscisse d'un point d'intersection.
On obtient les ordonnées à l'aide de l'équation de la droite :
y_1=7\times 2+1=15 \quad \\y_2=7\times 1+1=8
On obtient donc les points d'intersection suivants :
A(2;15)\\B(1;8)