On considère le rectangle ABCD suivant de largeur AB égale à 4 et de longueur BC égale à 8, I le milieu de \left[ CD\right] et H le milieu de \left[ AB\right].
Quelle est la valeur de la longueur AI ?
Le triangle AID est rectangle en D.
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
AI^2=AD^2+ID^2
Or AD = 8 et, comme I est le milieu de \left[ DC \right] :
ID = 2
On en déduit que :
AI^2 = 8^2+2^2 =68
Donc :
AI = \sqrt {68}
AI= 2\sqrt {17}
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} ?
H, milieu de \left[ AB \right], est le projeté orthogonal de I sur \left(AB\right).
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
Comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens, on trouve que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = AB.AH = 4\times 2=8
On peut conclure :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} =8
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) ?
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}= AB \times AI \times \cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)= \dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI}}{AB\times AI}
Or, d'après les questions précédentes :
- AB \times AI = 8\sqrt {17}
- \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AI} = 8
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right)= \dfrac{8}{8\sqrt{17}} =\dfrac{1}{\sqrt{17}}
Grâce à la calculatrice et sa touche cos^{-1}, on obtient :
\cos \left(76^\circ\right)\approx\dfrac{1}{\sqrt{17}}
Comme de plus l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) n'est pas dans le sens direct, on peut conclure :
Une mesure de l'angle étudié est \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AI}\right) \approx -76^\circ