Calculer un angle grâce à un produit scalaire Exercice

Graphiquement, on détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3\end{pmatrix}

Or, d'après le cours on sait que :

\left\| \overrightarrow{u} \right\|= \sqrt{x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2}

On en déduit que :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{4^2+\left(-3\right)^2} = \sqrt{25}= 5
• \left\| \overrightarrow{v} \right\|= \sqrt{\left(-4\right)^2+3^2} = \sqrt{25}=5

D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'

Ici, on a :

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times \left(-4\right)-3\times 3 = -25

D'après le cours, on sait que :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)

On en déduit que :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{ \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| }

Or, d'après les questions précédentes :

• \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| =5 \times 5= 25
• \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -25

Donc :

\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{-25}{25} =-1

Or, on sait que :

\cos \left(180^\circ\right)=-1

Comme de plus l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) n'est pas dans le sens direct, on peut conclure :