On considère les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} suivants définis sur le quadrillage à mailles carrées de longueur 1.
Quelles sont les normes des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ?
Graphiquement, on détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
Or, d'après le cours on sait que :
\left\| \overrightarrow{u} \right\|= \sqrt{x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2}
On en déduit que :
- \\\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}= 2\sqrt 5
- \left\| \overrightarrow{v} \right\|= \sqrt{2^2+\left(-3\right)^2} = \sqrt{13}
\left\| \overrightarrow{u} \right\| =2\sqrt5 et \left\| \overrightarrow{v} \right\| =\sqrt{13}
Quelle est la valeur de \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Ici, on a :
\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3\end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times 2+2\times \left(-3\right) = 2
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =2
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) ?
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)
On en déduit que :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{ \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|}
Or, d'après les questions précédentes :
- \left\| \overrightarrow{u} \right\|\times\left\| \overrightarrow{v} \right\|=2 \sqrt{5} \times \sqrt{13} = 2\sqrt{65}
- \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2
Donc :
\cos \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)= \dfrac{2}{2\sqrt{65}} =\dfrac{1}{\sqrt{65}}
Grâce à la calculatrice et sa touche cos^{-1}, on obtient :
\cos \left(82{,}9^\circ\right)\approx\dfrac{1}{\sqrt{65}}
Comme de plus l'angle \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right) n'est pas dans le sens direct, on peut conclure :
Une mesure de l'angle étudié est \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}\right)\approx-82{,}9°