On considère l'équation suivante :
\sqrt{2x^2+7x+6}=3x+5
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : 2x^2+7x+6\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme 2x^2+7x+6
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times2\times6=49-48=1
\Delta\gt0 et a\gt0 donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{1}}{2\times2}=\dfrac{-7-1}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+\sqrt{1}}{2\times2}=\dfrac{-7+1}{4}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left]-\infty;-2 \right]\cup\left[-\dfrac{3}{2};+\infty \right[.
Quelle est la résolution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
3x+5\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant-\dfrac{5}{3}
Résolution de A=B^2
2x^2+7x+6=\left(3x+5\right)^2
\Leftrightarrow 2x^2+7x+6=9x^2+30x+25
\Leftrightarrow -7x^2-23x-19=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=\left(-23\right)^2-4\times\left(-7\right)\times\left(-19\right)=529-532=-3
\Delta\lt0 donc l'équation n'a pas de solution.
L'équation n'a pas de solution.