On considère l'équation suivante :
\sqrt{3x^2+x+2}=-2x
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : 3x^2+x+2\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme 3x^2+x+2
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times3\times2=1-24=-23
\Delta\lt0 et a\gt0 donc le trinôme est positif pour tout x réel.
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \mathbb{R}.
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
-2x\geqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant0
Résolution de A=B^2
3x^2+x+2=\left(-2x\right)^2
\Leftrightarrow 3x^2+x+2=4x^2
\Leftrightarrow -x^2+x+2=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-1\right)\times2=1+8=9
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-1-3}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-1+3}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1
Recherche des solutions de l'équation
x_1 et x_2 appartiennent à l'ensemble de définition de l'équation \mathbb{R}. Mais seul x_2=-1 vérifie la condition x\leqslant0.
L'équation admet une solution -1.