Soit P le polynôme défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=2x^3-x^2-x-10
Calculer P(2).
P\left(2\right)=2\times\left(2\right)^3-\times\left(2\right)^2-\times\left(2\right)-10=16-4-2-10=0
P\left(2\right)=0 donc 2 est une racine du polynôme P.
Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x : P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
On développe donc l'expression \left(x-2\right)\left(ax^2+bx+c\right) et on regroupe ses termes par degré, afin d'obtenir une forme polynomiale :
\left(x-2\right)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c=ax^3+\left(b-2a\right)x^2+\left(c-2b\right)x-2c
On en déduit que le polynôme P est égal à cette expression si et seulement si les réels a, b et c vérifient :
\begin{cases} a=2 \cr \cr b-2a=-1 \cr \cr c-2b=-1 \cr \cr -2c=-10 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=2 \cr \cr b-4=-1 \cr \cr c-2b=-1 \cr \cr c=5 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=2 \cr \cr b=3 \cr \cr c=5 \end{cases}
Pour tout réel x, on a : P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+3x+5\right).
En déduire les éventuelles solutions de l'équation : 2x^3-x^2-x-10=0.
Cela est équivalent à résoudre :
\left(x-2\right)\left(2x^2+3x+5\right)=0.
\left(x-2\right)\left(2x^2+3x+5\right)=0
\Leftrightarrow x-2=0 ou 2x^2+3x+5=0
Résolution de x - 2 = 0
x-2=0\Leftrightarrow x=2
Résolution de 2x^2+3x+5=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(3\right)^2-4\times 2\times 5=9-40=-31
\Delta\lt0 donc l'équation n'admet pas de solution.
S=\left\{ 2\right\}