Soit P le polynôme défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=3x^3-4x^2-17x+6
Calculer P(3).
P\left(3\right)=3\times\left(3\right)^3-4\times\left(3\right)^2-17\times3+6=81-36-51+6=0
P\left(3\right)=0 donc 3 est une racine du polynôme P.
Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x : P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
On développe donc l'expression \left(x-3\right)\left(ax^2+bx+c\right) et on regroupe ses termes par degré, afin d'obtenir une forme polynomiale :
\left(x-3\right)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+bx^2+cx-3ax^2-3bx-3c=ax^3+\left(b-3a\right)x^2+\left(c-3b\right)x-3c
On en déduit que le polynôme P est égal à cette expression si et seulement si les réels a, b et c vérifient :
\begin{cases} a=3 \cr \cr b-3a=-4 \cr \cr c-3b=-17 \cr \cr -3c=6 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \cr \cr b-9=-4 \cr \cr c-3b=-17 \cr \cr c=-2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \cr \cr b=5 \cr \cr c=-2 \end{cases}
Pour tout réel x, on a : P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(3x^2+5x-2\right).
En déduire les éventuelles solutions de l'équation : 3x^3-4x^2-17x+6=0.
Cela est équivalent à résoudre :
\left(x-3\right)\left(3x^2+5x-2\right)=0
\left(x-3\right)\left(3x^2+5x-2\right)=0
\Leftrightarrow x-3=0 ou 3x^2+5x-2=0
Résolution de x - 3 = 0
x-3=0\Leftrightarrow x=3
Résolution de 3x^2+5x-2=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(5\right)^2-4\times 3\times \left(-2\right)=25+24=49
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux racines distinctes x_1 et x_2
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times3}=\dfrac{-5-7}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times3}=\dfrac{-5+7}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
S=\left\{ 3;-2; \dfrac{1}{3}\right\}