On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AE} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{DB} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{DE} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CE} ?
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} =\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right).\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{CD}
Or :
- les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{DC} sont orthogonaux
- les vecteurs \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux
- \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
- \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = a^2+0+ 0-a^2
Finalement :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} =0