Quelles sont les solutions de l'inéquation (E) : \sqrt{x} \leq 3 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient des racines carrées, on peut utiliser la fonction x \mapsto x^2 pour faire disparaître les racines.
Cette équation est définie sur \mathbb{R}_+ car :
- il faut que x \geq 0 pour que \sqrt{x} soit définie ;
- il faut que 3 \geq 0 sinon il y a contradiction avec l'inégalité \sqrt{x} \leq 3 car le premier membre est positif.
La résolution de l'équation devra se faire sur \mathbb{R}_+ .
On peut désormais appliquer la fonction carré, croissante sur \mathbb{R}_+ de chaque côté de l'équation :
\sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow (\sqrt{x})^2 \leq (3)^2
\sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 9
Les solutions sont :
\mathbb{R}_+ \cap \left]-\infty; 9\right]
Les solutions sont :
\mathbb{R}_+ \cap \left]-\infty; 9\right]
Soit :
\left[0; 9\right]
Quelles sont les solutions de l'inéquation (E) : \sqrt{2x+1} \leq 2 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient des racines carrées, on peut utiliser la fonction x \mapsto x^2 pour faire disparaître les racines.
Cette équation est définie sur \left[ -\dfrac{1}{2}; +\infty \right[ car :
- il faut que 2x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac{1}{2} pour que \sqrt{2x + 1} soit définie ;
- il faut que 2 \geq 0 sinon il y a contradiction avec l'inégalité \sqrt{2x+1} \leq 2 car le premier membre est positif.
La résolution de l'équation devra se faire sur \left[ -\dfrac{1}{2}; +\infty \right[ .
On peut désormais appliquer la fonction carré, croissante sur \mathbb{R}_+ de chaque côté de l'équation :
\sqrt{2x+1} \leq 2 \Rightarrow (\sqrt{2x+1})^2 \leq (2)^2
\sqrt{2x+1} \leq 2 \Rightarrow 2x + 1 \leq 4 \Rightarrow x \leq \dfrac{3}{2}
Les solutions sont :
\left[ -\dfrac{1}{2}; +\infty \right[ \cap \left]-\infty; \dfrac{3}{2}\right]
Soit :
\left[-\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right]
Quelles sont les solutions de l'inéquation (E) : \sqrt{3x-1} \leq 1 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient des racines carrées, on peut utiliser la fonction x \mapsto x^2 pour faire disparaître les racines.
Cette équation est définie sur \left[ \dfrac{1}{3}; +\infty \right[ car :
- il faut que 3x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{3} pour que \sqrt{3x - 1} soit définie ;
- il faut que 1 \geq 0 sinon il y a contradiction avec l'inégalité \sqrt{3x-1} \leq 1 car le premier membre est positif.
La résolution de l'équation devra se faire sur \left[ \dfrac{1}{3}; +\infty \right[ .
On peut désormais appliquer la fonction carré, croissante sur \mathbb{R}_+ de chaque côté de l'équation :
\sqrt{3x-1} \leq 1 \Rightarrow (\sqrt{3x-1})^2 \leq (1)^2
\sqrt{3x-1} \leq 1 \Rightarrow 3x - 1 \leq 1 \Rightarrow x \leq \dfrac{2}{3}
Les solutions sont :
\left[ \dfrac{1}{3}; +\infty \right[ \cap \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right]
Soit :
\left[\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}\right]
Quelles sont les solutions de l'inéquation (E) : \sqrt{2x + 4} \leq \sqrt{x+3} ?
Pour résoudre une inéquation qui contient des racines carrées, on peut utiliser la fonction x \mapsto x^2 pour faire disparaître les racines.
Cette équation est définie sur \left[ -2; +\infty \right[ car :
- il faut que 2x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 pour que \sqrt{2x+4} soit définie ;
- il faut que x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3 sinon il y a contradiction avec l'inégalité \sqrt{2x + 4} \leq \sqrt{x+3} car le premier membre est positif.
La résolution de l'équation devra se faire sur \left[ -2; +\infty \right[ .
On peut désormais appliquer la fonction carré, croissante sur \mathbb{R}_+ de chaque côté de l'équation :
\sqrt{2x + 4} \leq \sqrt{x+3} \Rightarrow (\sqrt{2x + 4})^2 \leq (\sqrt{x+3})^2
\sqrt{2x + 4} \leq \sqrt{x+3} \Rightarrow 2x + 4 \leq x+3 \Rightarrow x \leq -1
Les solutions sont :
\left[ -2; +\infty \right[ \cap \left]-\infty; -1\right]
Soit :
\left[-2; -1\right]
Quelles sont les solutions de l'inéquation (E) : \sqrt{3x -6} \leq \sqrt{2x-2} ?
Pour résoudre une inéquation qui contient des racines carrées, on peut utiliser la fonction x \mapsto x^2 pour faire disparaître les racines.
Cette équation est définie sur \left[ 2; +\infty \right[ car :
- il faut que 3x -6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 pour que \sqrt{3x -6} soit définie ;
- il faut que 2x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 sinon il y a contradiction avec l'inégalité \sqrt{3x -6} \leq \sqrt{2x-2} car le premier membre est positif.
La résolution de l'équation devra se faire sur \left[ 2; +\infty \right[ .
On peut désormais appliquer la fonction carré, croissante sur \mathbb{R}_+ de chaque côté de l'équation :
\sqrt{3x -6} \leq \sqrt{2x-2} \Rightarrow (\sqrt{3x -6})^2 \leq (\sqrt{2x-2})^2
\sqrt{3x -6} \leq \sqrt{2x-2} \Rightarrow 3x -6 \leq 2x-2 \Rightarrow x \leq 4
Les solutions sont :
\left[ 2; +\infty \right[ \cap \left]-\infty; 4\right]
Soit :
\left[2; 4\right]