La fonction f(x) = \dfrac{1}{2x} + 1, \forall x \in \mathbb{R}^* est-elle une fonction inverse ?
La fonction f(x) = \dfrac{1}{2x} + 1, \forall x \in \mathbb{R}^* est une fonction inverse si elle s'écrit :
f(x) = \dfrac{a}{g(x)}
où
a \in \mathbb{R}
g est une fonction affine.
En mettant l'expression de f au même dénominateur, on trouve :
f(x) = \dfrac{2x+1}{2x}
Le numérateur n'est pas un réel.
f n'est donc pas une fonction inverse.
La fonction f(x) = \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x+1}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\} est-elle une fonction inverse ?
La fonction f(x) = \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x+1}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\} est une fonction inverse si elle s'écrit :
f(x) = \dfrac{a}{g(x)}
où
a \in \mathbb{R}
g est une fonction affine.
En mettant l'expression de f au même dénominateur, on trouve :
f(x) = \dfrac{3}{x+1}
f est donc une fonction inverse.
La fonction f(x) = \dfrac{x}{-x+2} + 1, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2 \right\} est-elle une fonction inverse ?
La fonction f(x) = \dfrac{x}{-x+2} + 1, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2 \right\} est une fonction inverse si elle s'écrit :
f(x) = \dfrac{a}{g(x)}
où
a \in \mathbb{R}
g est une fonction affine.
En mettant l'expression de f au même dénominateur, on trouve :
f(x) = \dfrac{x + (-x+2)}{-x+2} = \dfrac{2}{-x+2}
f est donc une fonction inverse.
La fonction f(x) = \dfrac{12x + 1}{4x} - 3, \forall x \in \mathbb{R}^* est-elle une fonction inverse ?
La fonction f(x) = \dfrac{12x + 1}{4x} - 3, \forall x \in \mathbb{R}^* est une fonction inverse si elle s'écrit :
f(x) = \dfrac{a}{g(x)}
où
a \in \mathbb{R}
g est une fonction affine
En mettant l'expression de f au même dénominateur, on trouve :
f(x) = \dfrac{12x + 1 - 3 \times 4x}{4x} = \dfrac{1}{4x}
f est donc une fonction inverse.
La fonction f(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2; -1 \right\} est-elle une fonction inverse ?
La fonction f(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2; -1 \right\} est une fonction inverse si elle s'écrit :
f(x) = \dfrac{a}{g(x)}
où
a \in \mathbb{R}
g est une fonction affine.
En mettant l'expression de f au même dénominateur, on trouve :
f(x) = \dfrac{x+2 - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}
Le dénominateur n'est pas une fonction affine.
f n'est donc pas une fonction inverse.