Les fonctions de référence
Il existe différentes fonctions de référence : les fonctions affines, la fonction carré, la fonction racine carrée, la fonction inverse et la fonction cube. On peut comparer entre elles ces fonctions de référence.
Les fonctions affines
Les fonctions affines sont très présentes en mathématiques. Le domaine de définition est \mathbb{R}. Le sens de variation dépend du signe de leur coefficient directeur. Les courbes représentatives des fonctions affines sont des droites.
Le domaine de définition
Fonction affine
Une fonction affine est définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = ax + b
où a et b sont des réels fixés.
Coefficient directeur
On appelle coefficient directeur (ou pente) le nombre a dans l'expression f : x \mapsto ax + b.
Plus le coefficient directeur est élevé, plus l'inclinaison de la droite sera forte.
Le sens de variation
Une fonction affine f : x \mapsto ax+b est :
- croissante sur \mathbb{R} si et seulement si a >0 ;
- décroissante sur \mathbb{R} si et seulement si a <0 ;
- constante sur \mathbb{R} si et seulement si a=0.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction affine est une droite.
En fonction du coefficient directeur, les courbes représentatives des fonctions affines sont des droites « montantes », « descendantes », ou « constantes ».
La fonction carré
La fonction carré apparaît souvent lorsque l'on cherche à calculer des aires. En effet, si un carré admet des côtés de longueur x >0, alors son aire sera donnée par x^2. Ici, le domaine de définition de la fonction carré est \mathbb{R} tout entier. La courbe de la fonction x \mapsto x^2 est appelée parabole. La fonction carré est une fonction paire, comme on le voit sur sa courbe représentative.
Le domaine de définition
La fonction carré
La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f : x \mapsto x^2
Autrement dit, pour chaque nombre réel x, la fonction carré associe le nombre réel x \times x.
Une fonction paire
La fonction carré est une fonction paire.
Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
(-x)^2 = (-1)^2\times x^2 = x^2
Donc f(x) = f(-x) pour tout x \in \mathbb{R}, si f désigne la fonction carré.
Par définition, f est bien paire sur \mathbb{R}.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction carré est décroissante sur ]-\infty, 0], et croissante sur [0, +\infty[ en décrivant une parabole.
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction carré sur l'intervalle [0, +\infty[. Cette fonction est très présente dans les formules issues de la physique. Elle est strictement croissante sur [0; +\infty[. Elle est toujours positive.
Le domaine de définition
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels positifs. Pour x positif, elle associe l'unique nombre, noté \sqrt{x} tel que \sqrt{x}^2 = x. Ainsi, la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+} par :
f : x \mapsto \sqrt{x}
La racine carrée de 4 est 2, puisque c'est le seul nombre positif qui, mis au carré, donne 4.
Autrement dit :
2^2 =4 \iff \sqrt{4} = 2
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction racine carrée est croissante sur [0, +\infty[.
La fonction inverse
La fonction inverse est la première fonction de référence qui n'est pas définie sur \mathbb R tout entier. En effet, à cause de la division par 0 qui est impossible, son domaine de définition est \mathbb{R}\backslash \{0\}. Elle est décroissante sur son intervalle de définition d'après la courbe représentative de la fonction inverse.
Le domaine de définition
La fonction inverse
La fonction inverse est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels non nuls par :
f : x \mapsto \dfrac{1}{x}
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction inverse est décroissante sur ]-\infty, 0[, et décroissante sur ]0, +\infty[.
La fonction inverse n'est pas décroissante sur son ensemble de définition \mathbb{R}^*. Elle l'est séparément sur \mathbb{R}_+^* et sur \mathbb{R}_-^*.
Si on prend x = -2 \in \mathbb{R}_-^* et y = 1 \in \mathbb{R}_+^*, on a x < y et pourtant \dfrac 1 x < \dfrac1 y .
La fonction cube
La fonction cube est une fonction définie sur \mathbb{R}, qui est monotone, et croissante sur \mathbb{R} d'après sa courbe représentative.
Le domaine de définition
La fonction cube
La fonction cube est la fonction qui à tout nombre réel x associe le nombre x^3 = x \times x \times x. Autrement dit, la fonction cube est définie par :
f : x \mapsto x^3
L'image de 3 par la fonction cube est 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction cube est croissante sur \mathbb{R}.
La comparaison entre quelques fonctions de référence
On peut comparer quelques fonctions de référence entre elles.
On considère les courbes d'équations y=x, y=x^2, y=x^3 dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Alors :
- Si x \in [0;1], on a x \geq x^2 \geq x^3.
- Si x \in [1; + \infty[, on a x \leq x^2 \leq x^3.
Premier cas, si x \in [0;1]. Alors, on peut partir de l'inéquation 0 \leq x \leq 1. En multipliant par x, qui est un nombre positif, puisque x \geq 0, on obtient :
0 \leq x^2 \leq x \leq 1
En multipliant une nouvelle fois par x \geq 0 cette dernière équation, on obtient :
0 \leq x^3 \leq x^2 \leq x \leq 1
Deuxième cas, si x \in [1; +\infty], c'est-à-dire x \geq 1. Alors, là encore, x est un nombre positif, donc on peut multiplier l'inéquation x \geq 1 par x, pour obtenir :
x^2 \geq x \geq 1
De la même manière, on peut multiplier une nouvelle fois par x \geq 1 pour finalement obtenir :
x^3 \geq x^2 \geq x \geq 1
La résolution d'équations et d'inéquations avec les fonctions de référence
On peut utiliser les fonctions de référence pour résoudre des équations. On peut utiliser les propriétés de variation des fonctions affine, carré, cube et inverse pour résoudre des inéquations.
La résolution d'équations avec les fonctions de référence
La résolution d'équations avec les fonctions affines
On peut résoudre une équation f(x) = k où f est affine. On peut également résoudre une équation f(x) < k où f est affine.
Soit f : x \mapsto ax +b une fonction affine, avec a \not = 0. On cherche à résoudre l'équation f(x) = k. Alors, il existe une unique solution donnée par :
x = \dfrac{k - b}{a}
Soit f : x \mapsto ax +b une fonction affine, avec a \not = 0. On cherche à résoudre l'inéquation f(x) < k.
Alors l'ensemble solution est :
- soit ]-\infty, \dfrac{k-b}{a}[ si a est positif ;
- soit ]\dfrac{k-b}{a}; +\infty[ si a est négatif.
Dans le cas où a est positif, les solutions sont de la forme :
Dans le cas où a est négatif, les solutions sont de la forme :
La résolution d'équations avec la fonction carré
On peut résoudre une équation f(x) = k où f est la fonction carré. On peut également résoudre une équation f(x) < k où f est la fonction carré.
Soit f : x \mapsto x^2 la fonction carré. Alors les solutions de l'équation f(x) = k sont :
- -\sqrt{k} et \sqrt{k} si k est positif.
- Il n'y a pas de solution si k < 0.
Si k est positif, il y a bien deux solutions, puisque l'axe y = k rencontre deux fois la courbe représentative de la fonction carré :
Soit f : x \mapsto x^2 la fonction carré. Alors les solutions de l'inéquation f(x) < k sont :
- L'intervalle ]-\sqrt{k}, \sqrt{k}[ si k est positif.
- Il n'y a pas de solution si k < 0.
Si k est positif, voici à quoi ressemble l'intervalle solution de x^2 <k :
La résolution d'équations avec la fonction racine carrée
On peut résoudre une équation f(x) = k où f est la fonction racine carrée. On peut également résoudre une équation f(x) < k où f est la fonction racine carrée.
Soit f la fonction racine carrée. Alors, les solutions de l'équation f(x) = k sont :
- x = k^2 si k est positif.
- Il n'y a pas de solution si k < 0.
Si k est positif, voici à quoi ressemble la solution de l'équation f(x) = k, si f : x \mapsto \sqrt{x} :
Soit f la fonction racine carrée. Alors, les solutions de l'inéquation f(x) < k sont :
- [0, k^2[ si k est strictement positif.
- Il n'y a pas de solution si k \leq 0.
Si k est positif, voici à quoi ressemble la solution de l'inéquation f(x) < k, si f : x \mapsto \sqrt{x} :
La résolution d'équations avec la fonction inverse
On peut résoudre une équation f(x) = k où f est la fonction inverse. On peut également résoudre une équation f(x) < k où f est la fonction inverse.
Soit f la fonction inverse, donnée par f : x \mapsto \dfrac{1}{x} et définie sur \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}. Alors, les solutions de l'équation f(x) = k sont :
- \dfrac{1}{k} si k est non nul.
- Il n'y a pas de solution si k est nul.
Si k est positif, voici à quoi ressemble la solution de l'équation f(x) = k, si f : x \mapsto \dfrac{1}{x} :
Soit f la fonction inverse, donnée par f : x \mapsto \dfrac{1}{x} et définie sur \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}. Alors, les solutions de l'inéquation f(x) < k sont :
- si k est strictement positif, \left]-\infty, 0\right[ \bigcup \left]\dfrac{1}{k}, +\infty\right[ ;
- si k est strictement négatif, ]\dfrac{1}{k},0[ ;
- si k est nul, les solutions sont ]-\infty, 0[.
Si k est positif, voici à quoi ressemble la solution de l'équation f(x) < k, si f : x \mapsto \dfrac{1}{x} :
La résolution d'équations avec la fonction cube
On peut résoudre une équation f(x) = k où f est la fonction cube. On peut également résoudre une équation f(x) < k où f est la fonction cube.
Soit f : x \mapsto x^3 la fonction cube définie sur \mathbb{R}. Alors, quel que soit k dans \mathbb{R}, il existe une unique solution x \in \mathbb{R} telle que :
f(x)=k
Il faut définir la racine cubique de x pour donner une formule de la solution.
Si l'on veut résoudre l'équation x^3 = 8, puisque 2^3 = 8, on en déduit que c'est la seule solution sur \mathbb{R} d'après la proposition. Ainsi, x^3 = 8 si et seulement si x = 2.
La courbe représentative de la fonction cube est strictement monotone, et parcourt tout \mathbb{R} (c'est-à-dire que la courbe va aussi bas que l'on veut, et aussi haut que l'on veut).
C'est pour cela qu'il y a une seule et unique solution.
Soit f : x \mapsto x^3 la fonction cube définie sur \mathbb{R}. Alors, quel que soit k dans \mathbb{R}, si on note x_0 la seule solution de l'équation x^3 = k, alors :
x^3<k \text{ si et seulement si } x \in ]-\infty; x_0[
Il faut définir la racine cubique de x pour donner une formule de l'intervalle.
Si l'on veut résoudre l'inéquation x^3 < 8, on sait que la solution de x^3=8 est le nombre réel x_0 = 2. Ainsi, x^3 < 8 si et seulement si x < 2.
Voici une représentation de l'intervalle solution :
La résolution d'inéquations avec des fonctions de référence
Si une fonction f est croissante sur un intervalle I, alors, pour tout a, b \in I, on a :
f(a) \leq f(b) \text{ dès que } a \leq b
Autrement dit, elle conserve le sens des inégalités.
Si une fonction f est décroissante sur un intervalle I, alors, pour tout a, b \in I, on a :
f(a) \geq f(b) \text{ dès que } a \leq b