Quel est l'ensemble des solutions de la double inéquation (E) : 1 < \dfrac{1}{x-4} < 3 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient un inverse, on peut appliquer la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} aux membres de l'inégalité.
Il faut cependant vérifier que les nombres intervenant sont soit tous strictement négatifs, soit tous strictement positifs.
On inverse ensuite le sens de l'inégalité en appliquant la fonction inverse car elle est décroissante sur ]-\infty;0[ (ou ]0;+\infty[).
Cette double inéquation est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ 4 \right\} car le dénominateur s'annule en x = 4 .
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est continue et décroissante sur \left[1; 3\right] , on peut donc l'appliquer à chaque membre en changeant le sens de l'inégalité.
1 < \dfrac{1}{x-4} < 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x - 4 < \dfrac{1}{1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x - 4 < 1
Finalement :
1 < \dfrac{1}{x-4} < 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} + 4 < x < 1 + 4 \Leftrightarrow \dfrac{13}{3} < x < 5
La valeur interdite x = 4 n'appartient pas à l'intervalle.
L'ensemble des solutions de cette double inéquation est donc : \left]\dfrac{13}{3}; 5\right[.
Quel est l'ensemble des solutions de la double inéquation (E) : 3 < \dfrac{2}{x+2} < 8 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient un inverse, on peut appliquer la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} aux membres de l'inégalité.
Il faut cependant vérifier que les nombres intervenant sont soit tous strictement négatifs, soit tous strictement positifs.
On inverse ensuite le sens de l'inégalité en appliquant la fonction inverse car elle est décroissante sur ]-\infty;0[ (ou ]0;+\infty[).
Cette double inéquation est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ -2 \right\} car le dénominateur s'annule en x = -2 .
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est continue et décroissante sur \left[3; 8\right] , on peut donc l'appliquer à chaque membre.
3 < \dfrac{2}{x+2} < 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{8} < \dfrac{x+2}{2} < \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < x + 2 < \dfrac{2}{3}
Finalement :
3 < \dfrac{2}{x+2} < 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} - 2< x < \dfrac{2}{3} - 2 \Leftrightarrow -\dfrac{7}{4} < x < -\dfrac{4}{3}
La valeur interdite x = -2 n'appartient pas à l'intervalle.
L'ensemble des solutions de cette double inéquation est donc : \left]-\dfrac{7}{4}; -\dfrac{4}{3}\right[ .
Quel est l'ensemble des solutions de la double inéquation (E) : -4 < \dfrac{1}{2x+3} < -1 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient un inverse, on peut appliquer la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} aux membres de l'inégalité.
Il faut cependant vérifier que les nombres intervenant sont soit tous strictement négatifs, soit tous strictement positifs.
On inverse ensuite le sens de l'inégalité en appliquant la fonction inverse car elle est décroissante sur ]-\infty;0[ (ou ]0;+\infty[).
Cette double inéquation est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} car le dénominateur s'annule en x = -\dfrac{3}{2} .
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est continue et décroissante sur \left[-4; -1\right] , on peut donc l'appliquer à chaque membre.
-4 < \dfrac{1}{2x+3} < -1 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{1} < 2x+3 < -\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow -1-3 < 2x < -\dfrac{1}{4} -3
Finalement :
-4 < \dfrac{1}{2x+3} < -1 \Leftrightarrow -4 < 2x < -\dfrac{13}{4} \Leftrightarrow -2 < x < -\dfrac{13}{8}
La valeur interdite x = -\dfrac{3}{2} n'appartient pas à l'intervalle.
L'ensemble des solutions de cette double inéquation est donc : \left]-2; -\dfrac{13}{8}\right[.
Quel est l'ensemble des solutions de la double inéquation (E) : -3 < \dfrac{1}{2x+2} < 2 ?
Pour résoudre une inéquation qui contient un inverse, on peut appliquer la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} aux membres de l'inégalité.
Il faut cependant vérifier que les nombres intervenant sont soit tous strictement négatifs, soit tous strictement positifs.
On inverse ensuite le sens de l'inégalité en appliquant la fonction inverse car elle est décroissante sur ]-\infty;0[ (ou ]0;+\infty[).
Cette double inéquation est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\} car le dénominateur s'annule en x = -1 .
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} n'est pas continue sur [-3; 2] , on va donc séparer l'encadrement en deux :
-3<\dfrac{1}{2x+2}<2\Leftrightarrow -3<\dfrac{1}{2x+2}<0 \text{ ou } 0<\dfrac{1}{2x+2}<2
Pour la partie -3 < \dfrac{1}{2x+2} < 0 :
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est continue et décroissante sur \left[-3; 0\right[ , on peut donc l'appliquer à chaque membre en changeant le sens de l'inégalité :
-3 < \dfrac{1}{2x+2} < 0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} > 2x+2 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3}-2 > 2x \Leftrightarrow -\dfrac{7}{3} > 2x
Finalement :
-3 < \dfrac{1}{2x+2} < 0 \Leftrightarrow -\dfrac{7}{6} > x
L'ensemble des solutions de l'inéquation -3<\dfrac{1}{2x+2}<0 est :
\left] -\infty ; -\dfrac{7}{6} \right[
Pour la partie 0 < \dfrac{1}{2x+2} < 2 :
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est continue et décroissante sur \left]0;2\right[ , on peut donc l'appliquer à chaque membre en changeant le sens de l'inégalité :
0 < \dfrac{1}{2x+2} < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < 2x+2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}-2 < 2x \Leftrightarrow -\dfrac{3}{2} < 2x
Finalement :
0< \dfrac{1}{2x+2} < 2 \Leftrightarrow -\dfrac{3}{4} < x
L'ensemble des solutions de l'inéquation 0<\dfrac{1}{2x+2}<1 est :
\left] -\dfrac{3}{4}; +\infty \right[
L'ensemble des solutions de l'inéquation -3<\dfrac{1}{2x+2}<2 est donc : \left] -\infty; -\dfrac{7}{6} \right[ \cup \left] -\dfrac{3}{4} ; +\infty \right[.