La fonction f définie par f(x) = 9 x^2 + 12 x + 4, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le carré d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 9 x^2 + 12 x + 4, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est de degré 2 . Si elle s'écrit sous la forme du carré d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
Or,
(ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^2 = 9 \cr \cr 2ab = 12 \cr \cr b^2 = 4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = +3 \text{ ou } -3 \cr \cr b = +2 \text{ ou } -2 \cr \cr 2ab = 12 \end{cases}
On déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (3x + 2)^2 ou (-3x-2)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
La fonction f est le carré d'une fonction affine.
La fonction f définie par f(x) = 16 x^2 -24 x + 9, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le carré d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 16 x^2 -24 x + 9, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est de degré 2 . Si elle s'écrit sous la forme du carré d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
Or,
(ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^2 = 16 \cr \cr 2ab = -24 \cr \cr b^2 = 9 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = +4 \text{ ou } -4 \cr \cr b = +3 \text{ ou } -3 \cr \cr 2ab = -24 \end{cases}
On déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (4x - 3)^2 ou (-4x+3)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
La fonction f est le carré d'une fonction affine.
La fonction f définie par f(x) = 25 x^2 -20 x + 4, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le carré d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 25 x^2 -20 x + 4, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est de degré 2 . Si elle s'écrit sous la forme du carré d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
Or,
(ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^2 = 25 \cr \cr 2ab = -20 \cr \cr b^2 = 4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = +5 \text{ ou } -5 \cr \cr b = +2 \text{ ou } -2 \cr \cr 2ab = -20 \end{cases}
On déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (5x - 2)^2 ou (-5x+2)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
La fonction f est le carré d'une fonction affine.
La fonction f définie par f(x) = 16 x^2 -18 x + 3, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le carré d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 16 x^2 -18 x + 3, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est de degré 2 . Si elle s'écrit sous la forme du carré d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^2, \forall x \in \mathbb{R}
Or,
(ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^2 = 16 \cr \cr 2ab = -18 \cr \cr b^2 = 3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = +4 \text{ ou } -4 \cr \cr b = +\sqrt{3} \text{ ou } -\sqrt{3} \cr \cr 2ab = -18 \end{cases}
Ce système n'a pas de solution. Ainsi :
La fonction f n'est pas le carré d'une fonction affine.
La fonction f définie par f(x) = 8 x^2 -4 x + 1, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le carré d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 8 x^2 -4 x + 1, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est de degré 2 . Si elle s'écrit sous la forme du carré d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^2, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}
Or,
f(x) = (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2abx + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^2 = 8 \cr \cr 2ab = -4 \cr \cr b^2 = 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a = +2\sqrt{2} \text{ ou } -2\sqrt{2} \cr \cr b = +1 \text{ ou } -1 \cr \cr 2ab = -4 \end{cases}
Ce système n'a pas de solution. Ainsi :
La fonction f n'est pas le carré d'une fonction affine.