Utiliser la comparaison entre x, x^2 et x^3 dans une inéquation Exercice

On réécrit l'inéquation, en factorisant par le terme de plus petit degré :
2x \leq x^2  \Leftrightarrow x(2 - x) \leq 0

Or, un produit de deux nombres est négatif lorsqu'ils sont tous les deux de signes contraires, et on remarque que :
2 - x \leq 0 \Leftrightarrow x \geq 2

Et donc on a :
 x(2 - x) \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 0 ou x \geq 2

On réécrit l'inéquation, et on factorise par le terme de plus petit degré :
x^2 <3x^3  \Leftrightarrow x^2(1 - 3x) <0 

Comme x^2 >0 pour tout x réel,  x^2(1 - 3x) est du signe de 1 - 3x .

Or :
1 - 3x < 0 \Leftrightarrow 1 <3x \Leftrightarrow x >\dfrac{1}{3} 

Pour résoudre une inéquation avec des termes en x et x^3 , on réécrit et on factorise par le terme de plus petit degré :
 x \leq x^3 \Leftrightarrow x(1 -x^2) \leq 0

Comme un produit de deux termes est négatif s'ils sont tous les deux de signes contraires, on a deux cas possibles :
x\leq 0 et x^2-1\geq 0 ou bien x\geq 0 et x^2-1\leq 0

Or, on a :
 1 -x^2 \leq 0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1
 1 -x^2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -1 ou x \geq 1

On déduit :
x(1 -x^2) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [-1;0] \cup [1;+\infty[ 

On réécrit l'équation et on factorise par le terme de plus petit degré :
-x \leq 2x^3  \Leftrightarrow 0 \leq x(2x^2+1)
avec 2x^2+1\geq 0 pour tout x\in \mathbb{R}

Donc  x (2x^2+1) est du signe de x .

On réécrit l'inéquation et on factorise par le terme de plus petit degré :
3x^2 < -x^3 \Leftrightarrow x^2(3+x) < 0

Comme x^2 \geq 0 pour tout x réel, x^2(3+x) est du même signe que 3+x et 3+x< 0\Leftrightarrow x< -3.