Soit x \in \mathbb{R}.
Si x \lt 2, que peut-on en déduire ?
La fonction racine carrée est définie et strictement croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Cependant, on ne sait pas si x est positif ou négatif, on ne peut donc rien dire sur cette inégalité.
On ne peut rien en déduire.
Soit x \in \mathbb{R}^+.
Si 4 \leq x, que peut-on en déduire ?
La fonction racine carrée est définie et strictement croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Donc l'ordre de l'inégalité est conservée lorsque tous les membres se trouvent dans cet intervalle (dans le cas contraire, on ne peut pas appliquer la racine carrée car on ne peut pas faire la racine carrée d'un nombre négatif).
De plus, si on avait une inégalité stricte, on conserve également le « strict », mais ici, on avait une inégalité large au départ.
Donc ici : \sqrt {4} \leq \sqrt{x}
Soit x \in \left[-2;+\infty\right[.
Si x+2 \lt 3, que peut-on en déduire ?
Attention de bien appliquer la racine carrée à la totalité d'un membre, c'est-à-dire ici x+2 et pas seulement x.
De même, il faut que x+2 soit positif, et ce même si x était négatif.
Par exemple, si x=-1, x est négatif mais x+2=1 est positif donc on peut bien appliquer la racine carrée.
Au final : \sqrt {x+2} \lt \sqrt{3}
Soit x un nombre réel négatif.
Si x^2 \lt 4, que peut-on en déduire ?
On applique la fonction racine carrée à l'inégalité initiale (fonction monotone croissante) :
0\leqslant \sqrt {x^2} \lt \sqrt{4}
Comme x \geqslant 0, \sqrt{x^2} = -x, donc -x \lt 2.
-x \lt 2
Soit x \in \left[4; +\infty\right[.
Si x-5 \leqslant 72, que peut-on en déduire ?
La fonction racine carrée n'est définie que pour les nombres réels positifs. Comme x \in \left[4; +\infty\right[, x-5 \in \left[-1; +\infty\right[ qui est un intervalle avec des nombres réels négatifs. On ne peut pas appliquer la fonction racine carrée à l'inégalité.
On ne peut rien en déduire.