Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = -2x^2-4x+7
Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Donner la forme de la parabole suivant le signe de a
Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c dépend du signe de a :
- Si a \gt 0 alors f est strictement décroissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement croissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec \alpha =-\dfrac{b}{2a}.
- Si a \lt 0 alors f est strictement croissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement décroissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec \alpha =-\dfrac{b}{2a}.
On en déduit la forme de la parabole.
On remarque que a = -2 \lt 0.
On en déduit que f est strictement croissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement décroissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec :
\alpha =-\dfrac{b}{2a}
\alpha =-\dfrac{-4}{2\times \left(-2\right)}=-1
Ainsi, f est strictement croissante sur \left]-\infty ; -1\right] et strictement décroissante sur \left[-1;+\infty \right[.
Déterminer les coordonnées du sommet
D'après le cours, la parabole admet un sommet S de coordonnées \left(\alpha ; \beta\right), avec \beta=f\left(\alpha\right).
La parabole admet un sommet S de coordonnées \left(\alpha ; \beta\right)
On sait que \alpha = -1 donc :
\beta =f\left(\alpha\right) =-2 \left(-1\right)^2-4\times \left(-1\right) +7 =9
On en déduit que le sommet de la parabole a pour coordonnées (-1;9).
Etablir un tableau de valeurs
Pour certains réels x, on calcule f\left(x\right) et on récapitule les résultats dans un tableau.
On calcule :
f\left(0\right)=-2\times 0^2-4\times 0+7 = 7
On calcule de même f\left(-3\right), f\left(-2\right), f\left(-1\right) et f\left(1\right).
On obtient le tableau de valeurs suivant :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f\left(x\right) | 1 | 7 | 9 | 7 | 1 |
Tracer la courbe
On place les points de coordonnées \left(x;f\left(x\right)\right) du tableau de valeurs dans un repère. On place également le sommet S\left(\alpha;\beta\right). La courbe passera par ces points.
On place les points sur le graphique et on trace la courbe :
