Afin de déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme du second degré, on détermine sa forme canonique.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = -2x^2-4x-7
Donner le sens de variation de f ainsi que la valeur de son extremum.
Mettre le trinôme sous forme canonique
D'après le cours, on sait que la forme canonique d'un trinôme du second degré f\left(x\right)=ax^2+bx+c est :
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta
Avec \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha\right)
On calcule donc \alpha et \beta et on en déduit la forme canonique.
La forme canonique d'un trinôme du second degré f\left(x\right)=ax^2+bx+c est : f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta
Avec \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha\right)
On calcule \alpha et \beta :
- \alpha = \dfrac{4}{2\times \left(-2\right)}=-1
- \beta = f\left(-1\right) = -2\times \left(-1\right)^2 -4 \times \left(-1\right) -7 = -5
On en déduit la forme canonique de f :
Pour tout réel x, f\left(x\right) = -2\left(x+1\right)^2-5
Donner le sens de variation de la fonction trinôme
Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c dépend du signe de a :
- Si a \gt 0 alors f est strictement décroissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement croissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[.
- Si a \lt 0 alors f est strictement croissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement décroissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[.
Ici, a= -2 donc a \lt 0. Ainsi, f est strictement croissante puis strictement décroissante.
De plus, on a montré que \alpha=-1.
On en déduit que :
- f est strictement croissante sur \left]-\infty ; -1\right].
- f est strictement décroissante sur \left[-1;+\infty \right[.
Donner la valeur de l'extremum
Une fonction f d'expression f\left(x\right) =a\left(x-\alpha\right)^2+\beta admet un extremum de \beta atteint en x=\alpha.
On a \alpha = -1 et \beta = -5, on en déduit que f admet un extremum de -5 atteint en x=-1.
Dresser le tableau de variations de f
On dresse le tableau de variations de f à l'aide des questions précédentes.
On en déduit le tableau de variations de f :
