Soient f(x) = x^2 et g(x) = \sqrt{x} .
On chercher à montrer la relation de symétrie qui existe entre les courbes représentatives des fonctions f et g .
À quoi correspondent les courbes suivantes ?
On sait que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 est une fonction paire.
Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On a aussi f(-1) = 1 . La courbe bleue correspond donc à la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 .
La fonction racine carrée n'est définie que sur \mathbb{R}_+ , et f(4) = 2 . La courbe rouge correspond donc à la fonction g définie sur [0;+\infty[ par g(x) = \sqrt{x} .
Enfin, la droite verte correspond à la droite d'équation y=x.
La courbe verte est celle de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 , la courbe rouge est celle de la fonction g définie sur [0;+\infty[ par g(x) = \sqrt{x} et la courbe bleue est la droite d'équation y = x .
Soit M(x; y) un point appartenant à la courbe d'équation y = \sqrt{x} .
Quel est le symétrique de M par rapport à la droite d'équation y = x ?
Trouver le point symétrique par rapport à la droite d'équation y = x d'un point M(x;y) revient à inverser les coordonnées de ce point.
Or, un point M qui appartient à la courbe d'équation y = \sqrt{x} a pour coordonnées M(x; \sqrt{x}) .
Le symétrique M' de M a donc pour coordonnées M'( \sqrt{x} ; x) .
Que peut-on dire du point M'( \sqrt{x} ; x) ?
On remarque que pour le point M'\left(\sqrt{x}; x\right) , la valeur de l'ordonnée est le carré de l'abscisse :
(\sqrt{x})^2 = x
En faisant varier le point M sur la courbe de la fonction g définie sur [0;+\infty[ par g(x) = \sqrt{x} , on retrouve exactement la partie « positive » de la courbe de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 .
Ces deux courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Le point M' appartient donc à la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 .
Soit M un point sur la courbe de la fonction carré.
Son symétrique par rapport à l'origine O(0;0) appartient-il à la courbe de la fonction racine carrée ?
Si l'on prend le point M(-1; 1) qui appartient à la courbe de la fonction carré, son symétrique par rapport à l'origine O(0;0) est :
M'(1; -1) , qui n'appartient pas à la courbe de la fonction racine carrée.
Tous les points de la courbe de la fonction carré n'ont donc pas leur symétrique sur la courbe de la fonction racine carrée.