La fonction f(x) = 27 x^3 + 54 x^2 + 36 x + 8, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} , est-elle le cube d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 27 x^3 + 54 x^2 + 36 x + 8, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R} , est de degré 3 . Si elle s'écrit sous la forme du cube d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^3, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R}
Or :
(ax + b)^3 = (ax+b) \times (a^2 x^2 + 2abx + b^2)
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + 2a^2 b x^2 + ab^2 x + ba^2 x^2 + 2ab^2 x + b^3
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + (2a^2b + ba^2) x^2 + (ab^2 + 2ab^2) x + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^3 = 27 \cr \cr 2a^2 b + ba^2 = 54 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 36 \cr \cr b^3 = 8 \end{cases}
On déduit :
\begin{cases} a = 3 \cr \cr b = 2 \end{cases}
Et on vérifie :
\begin{cases} 2a^2 b + ba^2 = 2 \times (3)^2 \times 2 + 2 \times (3)^2 = 54 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 3 \times (2)^2 + 2 \times (3) \times (2)^2 = 36 \end{cases}
On déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (3x+2)^3
f s'écrit donc comme le cube d'une fonction affine.
La fonction f(x) = -1 x^3 + 9 x^2 + -27 x + 27, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} , est-elle le cube d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = -1 x^3 + 9 x^2 -27 x + 27, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R} , est de degré 3 . Si elle s'écrit sous la forme du cube d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^3, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R}
Or :
(ax + b)^3 = (ax+b) \times (a^2 x^2 + 2abx + b^2)
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + 2a^2 b x^2 + ab^2 x + ba^2 x^2 + 2ab^2 x + b^3
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + (2a^2b + ba^2) x^2 + (ab^2 + 2ab^2) x + b^2
(ax+b)^3 = a^3 x^3 + 3a^2b x^2 + 3ab^2 x + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^3 = -1 \cr \cr 3a^2 b = 9 \cr \cr 3ab^2 = -27 \cr \cr b^3 = 27 \end{cases}
On déduit :
\begin{cases} a = -1 \cr \cr b = 3 \end{cases}
Et on vérifie :
\begin{cases} 3a^2 b = 3 \times (-1)^2 \times 3 = 9 \cr \cr 3ab^2 = 3 \times (-1) \times (3)^2 = -27 \end{cases}
On en déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (-x+3)^3
f s'écrit donc comme le cube d'une fonction affine.
La fonction f(x) = -8 x^3 + 24 x^2 + -24 x + 8, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} , est-elle le cube d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = -8 x^3 + 24 x^2 -24 x + 8, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R} , est de degré 3 . Si elle s'écrit sous la forme du cube d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^3, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R}
Or :
(ax + b)^3 = (ax+b) \times (a^2 x^2 + 2abx + b^2)
ax + b)^3 = a^3 x^3 + 2a^2 b x^2 + ab^2 x + ba^2 x^2 + 2ab^2 x + b^3
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + (2a^2b + ba^2) x^2 + (ab^2 + 2ab^2) x + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^3 = -8 \cr \cr 2a^2 b + ba^2 = 24 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = -24 \cr \cr b^3 = 8 \end{cases}
On en déduit :
\begin{cases} a = -2 \cr \cr b = 2 \end{cases}
Et on vérifie :
\begin{cases} 2a^2 b + ba^2 = 2 \times (-2)^2 \times 2 + 2 \times (-2)^2 = 24 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = -2 \times (2)^2 + 2 \times (-2) \times (2)^2 = -24 \end{cases}
On en déduit que f peut s'écrire :
f(x) = (-2x+2)^3
f s'écrit donc comme le cube d'une fonction affine.
La fonction f(x) = 64 x^3 + -50 x^2 + 12 x + -1, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} , est-elle le cube d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 64 x^3 -50 x^2 + 12 x -1, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R} , est de degré 3 . Si elle s'écrit sous la forme du cube d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^3, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R}
Or :
(ax + b)^3 = (ax+b) \times (a^2 x^2 + 2abx + b^2)
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + 2a^2 b x^2 + ab^2 x + ba^2 x^2 + 2ab^2 x + b^3
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + (2a^2b + ba^2) x^2 + (ab^2 + 2ab^2) x + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^3 = 64 \cr \cr 2a^2 b + ba^2 = -50 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 12 \cr \cr b^3 = -1 \end{cases}
On déduit :
\begin{cases} a = 4 \cr \cr b = -1 \end{cases}
Les autres équations ne sont pas vérifiées :
\begin{cases} 2a^2 b + ba^2 = 2 \times (4)^2 \times (-1) - (4)^2 = -48 \neq -50 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 4 \times (-1)^2 + 2 \times (4) \times (-1)^2 = 12 = 12 \end{cases}
f ne s'écrit donc pas comme le cube d'une fonction affine.
La fonction f(x) = 27 x^3 + -125 x^2 + 220 x + -125, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} est-elle le cube d'une fonction affine ?
La fonction f(x) = 27 x^3 -125 x^2 + 220 x -125, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R} , est de degré 3 . Si elle s'écrit sous la forme du cube d'une fonction affine, il existe deux réels a et b tels que :
f(x) = (ax + b)^3, \text{ pout tout } x \in \mathbb{R}
Or :
(ax + b)^3 = (ax+b) \times (a^2 x^2 + 2abx + b^2)
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + 2a^2 b x^2 + ab^2 x + ba^2 x^2 + 2ab^2 x + b^3
(ax + b)^3 = a^3 x^3 + (2a^2b + ba^2) x^2 + (ab^2 + 2ab^2) x + b^2
Par identification des coefficients devant les termes de même degré, on a :
\begin{cases} a^3 = 27 \cr \cr 2a^2 b + ba^2 = -125 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 220 \cr \cr b^3 = -125 \end{cases}
On en déduit :
\begin{cases} a = 3 \cr \cr b = -5 \end{cases}
Les autres équations ne sont pas vérifiées :
\begin{cases} 2a^2 b + ba^2 = 2 \times (3)^2 \times (-5) -5 \times (3)^2 = -135 \neq -125 \cr \cr ab^2 + 2ab^2 = 3 \times (-5)^2 + 2 \times (3) \times (-5)^2 = 225 \neq 220 \end{cases}
f ne s'écrit donc pas comme le cube d'une fonction affine.