Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{1}{2};3 \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{5x}{x-3}-\dfrac{2x}{2x+1}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(-2x+1\right)\left(x^2+3x-4\right)\left(-3x^2+x+2\right).
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{3}{4} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{\left(-5x+4\right)\left(-2x^2+3x-1\right)}{-4x+3}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{\left(-x^2+4x-3\right)\left(-x+1\right)}{5x+5}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\dfrac{4x+1}{-x-3}\sqrt{x}.
Quelle est l'expression de la fonction dérivée de f ?
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+5x-3}{-4x-2}\sqrt{x}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}_+ :
- u\left(x\right)=\dfrac{-x^2+5x-3}{-4x-2}
- v\left(x\right)=\sqrt{x}
La fonction u est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. Elle est définie si son dénominateur ne s'annule pas. Ainsi D_u=\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}.
La fonction v est la fonction racine carrée donc elle est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
Ainsi, comme produit de fonctions, f est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
De plus, f'=u'v+uv'.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=\dfrac{u_1}{v_1} avec :
- u_1\left(x\right)=-x^2+5x-3
- v_1\left(x\right)=-4x-2
Ainsi u'=\dfrac{u_1'v_1-u_1v_1'}{v_1^2} avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u_1'\left(x\right)=-2x+5
- v_1'\left(x\right)=-4
Donc pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, on a :
u'\left(x\right)=\dfrac{\left(-2x+5\right)\left(-4x-2\right)-\left(-x^2+5x-3\right)\times\left(-4\right)}{\left(-4x-2\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{8x^2+4x-20x-10-4x^2+20x-12}{\left(-4x-2\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{4x^2+4x-22}{\left(-4x-2\right)^2}
Calcul de f'\left(x\right)
f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u'\left(x\right)=\dfrac{4x^2+4x-22}{\left(-4x-2\right)^2}
- v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi, pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{4x^2+4x-22}{\left(-4x-2\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{-x^2+5x-3}{-4x-2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, f'\left(x\right)=\dfrac{4x^2+4x-22}{\left(-4x-2\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{-x^2+5x-3}{-4x-2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}