Dériver un produit de sommes de fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée et puissance Exercice

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x) =2\sqrt{x}+5x
• \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=6x^2-\dfrac{1}{x}

 

On a :

u est la somme d'une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction racine carrée dérivable sur \mathbb{R}^+_* et : 
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, u'(x)=5+\dfrac{1}{\sqrt{x}}

v est la somme d'une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} avec une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* et : 
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, v'(x)=12x+\dfrac{1}{x^2}

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f'(x)=\left(5+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\times \left( 6x^2-\dfrac{1}{x} \right)+\left( 2\sqrt{x}+5x \right)\times \left( 12x+\dfrac{1}{x^2} \right)

\forall x \in \mathbb{R}^+_*,  f'(x)=30x^2+\dfrac{6x^2}{\sqrt{x}}-\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+24x\sqrt{x}+\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2}+60x^2+\dfrac{5}{x}

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=6x-4
• \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=\dfrac{1}{x}-x

 

On a :

u est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=6

v est la somme d'une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* avec une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*, v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-1

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=6(\dfrac{1}{x}-x)+(-\dfrac{1}{x^2}-1)(6x-4)
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=\dfrac{6}{x}-6x-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4}{x^2}-6x+4
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=-12x+4+\dfrac{4}{x^2}

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^3+2
• \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v(x)=\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}

 

On a :
u est une somme de fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et de fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=3x^2

v est la somme d'une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* avec une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_+^* et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

D'où, f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=3x^2\left(\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}\right)+(x^3+2)\left(-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=3x-3x^2\sqrt{x}-x-\dfrac{x^3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=2x-\dfrac{7}{2}x^2\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^2}

(Pour réaliser la dernière étape de simplification, il faut bien se rendre compte que : \dfrac{x^3}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x})

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=-6x^2+3x-1
• \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=5x^4-\dfrac{2}{x}

 

On a :

u est une somme de fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et de fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=-12x+3

v est la somme d'une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* avec une fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*, v'(x)=\dfrac{2}{x^2}+20x^3

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=(-12x+3)(5x^4-\dfrac{2}{x})+(20x^3+\dfrac{2}{x^2})(-6x^2+3x-1)
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=-60x^5+15x^4+24-\dfrac{6}{x}-120x^5+60x^4-20x^3-12+\dfrac{6}{x}-\dfrac{2}{x^2}
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x)=-180x^5+75x^4-20x^3+12-\dfrac{2}{x^2}

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u\times v est une fonction dérivable sur I et f'=u'\times v + u\times v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x)=\sqrt{x}-6x+2
• \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x)=x^3-2\sqrt{x}

 

On a :

u est une somme de fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et de fonction affine dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-6

v est la somme d'une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_+ avec une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}+3x^2

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-6)(x^3-2\sqrt{x})+(\sqrt{x}-6x+2)(3x^2-\dfrac{1}{\sqrt{x}})
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x}-1-6x^3+12\sqrt{x}+3x^2\sqrt{x}-1-18x^3+6\sqrt{x}+6x^2-\dfrac{2}{\sqrt{x}}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x)=-24x^3+\dfrac{7}{2}x^2\sqrt{x}+6x^2+18\sqrt{x}-2-\dfrac{2}{\sqrt{x}}