Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction inverse.
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction f(x) ?
D'après le cours, le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction f entre x et x + h .
Le taux d'accroissement entre x et x + h s'écrit :
\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Le nombre dérivé s'écrit donc :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} ?
Le nombre dérivé en x d'une fonction f(x) s'écrit :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
En utilisant la fonction f(x) =\dfrac{1}{x} , on a :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-h}{xh(x+h)}
En simplifiant les h au numérateur et au dénominateur, on obtient donc : \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} .
Quelle est l'expression de la dérivée en x de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} ?
La dérivée d'une fonction f(x) en x correspond au nombre dérivé.
Or, le nombre dérivé de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} est :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)}
Donc pour tout x :
f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)}
La dérivée de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} est donc : f'(x) =\dfrac{-1}{x^2} .
Quel est l'intervalle de définition de la dérivée de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} ?
La dérivée de la fonction f(x) = \dfrac{1}{x} est :
f'(x) =\dfrac{-1}{x^2}
Or, f' n'est pas définie en 0.
L'intervalle de définition de f' est donc : \mathbb{R}^* .