Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^3-2x^2
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=2.
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x a pour coefficient directeur f'(x).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x^3-2x^2
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 2 est f'(2).
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}, et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3x^2-4x
Donc :
f'(2)=3\times 2^2-4\times 2
f'(2)=3\times 4-8
f'(2)=12-8
f'(2)=4
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=2 est donc 4.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x+2}
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=0.
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x a pour coefficient directeur f'(x).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash{-2}, f(x)=\frac{1}{x+2}
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 0 est f'(0).
f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash{-2}.
\forall x \in \mathbb{R}\backslash{-2}, f'(x)=\frac{-1}{(x+2)^2}
En particulier, f'(0) =\frac{-1}{(2)^2} = -\frac{1}{4} .
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=0 est donc -\frac{1}{4} .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=(1-2x)(x+3)
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=-1.
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).
Ici, on a :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=(1-2x)(x+3)
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse -1 est f'(-1).
\begin{aligned}\forall x \in\mathbb{R} , f'(x) &= -2(x+3)+(1-2x) \\\\&=-5-4x\end{aligned}\\
En particulier :
\begin{aligned}\\f'(-1)&=-5-4\times(-1)\\&=-1\\\end{aligned}
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=-1 est donc -1 .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=(1-3x)^2
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=1.
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).
Ici on a :
\forall x \in\mathbb{R}, f(x)=(1-3x)^2
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 1 est f'(1).
\begin{aligned}\forall x \in\mathbb{R} , f'(x) &= -6(1-3x) \end{aligned}\\
En particulier :
\begin{aligned}\\f'(-1)&=-6\times(1-3*1)\\&=12\\\end{aligned}
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=1 est donc 12.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in [-1{,}1], f(x)=\sqrt{1-x^2}
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=\frac{1}{2}.
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).
Ici, on a :
\forall x \in [-1{,}1], f(x)=\sqrt{1-x^2}
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse \frac{1}{2} est f'(\frac{1}{2}).
\begin{aligned}\forall x \in ]-1{,}1[ , f'(x) =\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ =\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}
En particulier :
\begin{aligned}f'\left(\frac{1}{2}\right) &=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1-\frac{1}{2}^2}} \\&=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\\&=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\& = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse x=\frac{1}{2} est donc -\frac{\sqrt{3}}{3} . Le nombre -\frac{1}{\sqrt{3}} est aussi une bonne réponse.