Soit la fonction racine f définie par f(x) = \sqrt{x}.
Quel est l'ensemble de définition de f ?
Soit la fonction racine f définie par f(x) = \sqrt{x}.
Vrai ou faux ? f est dérivable en 0.
Soit f la fonction racine carrée et soit h un réel strictement positif.
Alors le taux de variation de f entre 0 et 0+h est :
\tau_{f,0,h}=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}
\tau_{f,0,h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}
Or, lorsque h se rapproche de 0, \sqrt{h} s'en rapproche également et \tau_{f,0,h} tend vers +\infty.
\tau_{f,0,h} ne se rapproche pas d'un nombre réel, donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
f n'est donc pas dérivable en 0.
Soit la fonction racine f définie par f(x) = \sqrt{x}.
Quel est l'ensemble de dérivabilité de f ?
Soit la fonction racine f définie par f(x) = \sqrt{x}.
Soient a un réel non nul et h un réel strictement positif.
On note \tau_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Que vaut f'(a) ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel I tel que :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = l
On a alors f'(a) = l.
Or, ici :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{a+h - a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
Or :
\lim\limits_{h \to 0} \sqrt{a+h} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}\\\Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\\
D'où :
\lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}
f est donc dérivable en a et on a :
f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}
Soit la fonction racine f définie par f(x) = \sqrt{x}.
Quelle est la formule de dérivation de f ?