Dériver une fonction affine composée par une fonction inverse Exercice

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\} , f(x)=\dfrac{1}{3x+1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\} , f(x)=g(3x+1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\} , f'(x)=3\times \dfrac{-1}{(3x+1)^2}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{3}{4} \right\} , f(x)=\dfrac{1}{-4x+3}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{3}{4} \right\} , f(x)=g(-4x+3)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{3}{4} \right\} , f'(x)=(-4)\times \dfrac{-1}{(-4x+3)^2}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{6}{5} \right\} , f(x)=\dfrac{1}{5x-6}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{6}{5} \right\} , f(x)=g(5x-6)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{3}{4} \right\} , f'(x)=5\times \dfrac{-1}{(5x-6)^2}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{- \dfrac{2}{3} \right\} , f(x)=\dfrac{1}{-3x-2}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} , f(x)=g(-3x-2)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} , f'(x)=(-3)\times \dfrac{-1}{(-3x-2)^2}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{- \dfrac{7}{6} \right\} , f(x)=\dfrac{1}{6x+7}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{7}{6} \right\} , f(x)=g(6x+7)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{7}{6} \right\} , f'(x)=6\times \dfrac{-1}{(6x+7)^2}