Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Soient a\in I et h un réel quelconque non nul tel que a+h \in I.
Quelle est l'expression du taux de variation \tau_{f, a , a+h} de la fonction f entre a et a+h ?
\tau_{f, a, a+h} = \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}\\\Leftrightarrow \tau_{f, a, a+h} = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Soient a\in I et h un réel quelconque non nul tel que a+h \in I.
On a trouvé \tau_{f, a, a+h} = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}.
En introduisant la somme nulle -u(a)v(a+h) + u(a)v(a+h), quelle est l'expression du taux de variation \tau_{f, a , a+h} de la fonction f entre a et a+h ?
\tau_{f, a, a+h} = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\\\\Leftrightarrow \tau_{f, a, a+h} = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h) + u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\\\\\\Leftrightarrow \tau_{f, a, a+h} = \dfrac{v(a+h)[u(a+h) - u(a)] + u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}\\\\\\\Leftrightarrow \tau_{f, a, a+h} = \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}v(a+h) + u(a)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\\\\\\\\\Leftrightarrow \tau_{f, a, a+h} = \tau_{u, a, a+h}v(a+h) + u(a)\tau_{v, a, a+h}\\\\\\
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Soient a\in I et h un réel quelconque non nul tel que a+h \in I.
On a trouvé \tau_{f, a, a+h} = \tau_{u, a, a+h}v(a+h) + u(a)\tau_{v, a, a+h}\\\\\\.
Vrai ou faux ? \lim\limits_{h \to 0}\tau_{u, a, a+h} = u'(a).
D'après l'énoncé, u est dérivable sur I donc en a.
Ainsi, on a bien u'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \tau_{u, a, a+h}.
L'affirmation est donc vraie.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Soient a\in I et h un réel quelconque non nul tel que a+h \in I.
On a trouvé \tau_{f, a, a+h} = \tau_{u, a, a+h}v(a+h) + u(a)\tau_{v, a, a+h}\\\\\\ et \lim\limits_{h \to 0}\tau_{u, a, a+h} = u'(a).
Que vaut \lim\limits_{h \to 0}\tau_{v, a, a+h} ?
De la même manière que pour la fonction u, la fonction v est dérivable sur I donc en a, et on a :
\lim\limits_{h \to 0}\tau_{v, a, a+h} = v'(a)
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Soient a\in I et h un réel quelconque non nul tel que a+h \in I.
On a trouvé \tau_{f, a, a+h} = \tau_{u, a, a+h}v(a+h) + u(a)\tau_{v, a, a+h}\\\\\\, \lim\limits_{h \to 0}\tau_{u, a, a+h} = u'(a) et \lim\limits_{h \to 0}\tau_{v, a, a+h} = v'(a).
Que vaut \lim\limits_{h \to 0}\tau_{f, a, a+h} ?
On a :
\tau_{f, a, a+h} = \tau_{u, a, a+h}v(a+h) + u(a)\tau_{v, a, a+h}\\\\\\
- \lim\limits_{h \to 0}\tau_{u, a, a+h} = u'(a) \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0}\tau_{u, a, a+h}v(a+h) = u'(a)v(a)
- \lim\limits_{h \to 0}\tau_{v, a, a+h} = v'(a) \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0}u(a)\tau_{v, a, a+h} = u(a)v'(a)
On a donc :
\lim\limits_{h \to 0}\tau_{f, a, a+h} = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Soit la fonction f = u\times v.
Quelle est la formule de dérivation de la fonction f ?