Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{ 1\right\}, f(x) = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x^2-2x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = (x-1)^2
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 2x-2.
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 2x-2.
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x=1
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1\right\} et :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ 1 \right\}, f'(x) = \frac{(2x-2)\times(x-1)^2 - (x^2-2x)\times (2x-2)}{(x-1)^4}
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ 1 \right\}, f'(x)= \frac{2x^3-4x^2+2x-2x^2+4x-2-2x^3+2x^2+4x^2-4x}{(x-1)^4}
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ 1 \right\}, f'(x)= \frac{2x-2}{(x-1)^4}
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\left\{ 1 \right\}, f'(x)= \frac{2}{(x-1)^3}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{x}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x+1
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x) = \sqrt{x}
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 1 .
- v est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x=0
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x) = \dfrac{1 \times \sqrt{x} - (x+1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x)= \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} (2x - (x + 1))
\forall x \in \mathbb{R}^*_+ , f'(x)= \dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \{ -1 \} , f(x) = \dfrac{(2x+1)(3x-2)}{(x+1)^2}
(Deux réponses possibles.)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = (2x + 1)(3x - 2)
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x) = (x+1)^2
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 12x - 1.
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = 2(x+1).
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x \in \{-1;1\}
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{(12x-1) \times (x^2 + 2x + 1) - (6x^2 - x -2) \times 2(x+1)}{(x^2-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{(12x^3 + 24x^2 + 12x - x^2 - 2x - 1) + (-12x^3 + 2x^2 + 4x -12x^2 + 2x + 4)}{(x^2-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{13x^2 + 16x + 3}{(x^2-1)^2}
On peut remarquer que 13x^2 + 16x + 3 = (x+1)(13x + 3).
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{13x + 3}{(x+1)^3}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;1 \right\}, f(x) = \dfrac{x^3 - x}{(x+1)(x-1)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x^3 -x
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x) = (x+1)(x-1)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 3x^2 - 1 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = 2x .
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x=0
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{(3x^2-1) \times (x^2 - 1) - (x^3 -x) \times 2x}{(x^2-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = (x^2 - 1) \dfrac{3x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 1}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = 1
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}, f(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2}x + 4 \right)^2 } {2x-1}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = (\dfrac{x}{2} + 4)^2
- \forall x \in \mathbb{R}_+, v(x) = 2x - 1
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, \dfrac{1}{2}x + 4 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = 2 .
Par ailleurs :
v(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{1}{2}x + 4 \right) \times (2x-1) - 2 \times \left(\dfrac{1}{2}x +4 \right)^2}{(2x-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) =\left( \dfrac{1}{2}x + 4 \right) \dfrac{2x - 1 - 2\left( \dfrac{1}{2}x + 4 \right)}{(2x-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x)= \left( \dfrac{1}{2}x + 4 \right) \dfrac{x - 9}{(2x-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x)= \dfrac{ \left(\dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{9}{2}x + 4x - 36 \right)}{(2x-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}^* , f'(x) = \dfrac{ \left(\dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{1}{2}x - 36 \right)}{(2x-1)^2}