Soit la fonction f définie sur \left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right] :
f(x) = \sqrt{2x-1}\times \sqrt{1-x}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un produit de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto \sqrt{2x-1} est une fonction affine composée par une fonction racine carrée. Or, la fonction x \mapsto \sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
x \mapsto \sqrt{2x-1} est dérivable sur l'intervalle tel que 2x -1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2} .
De même, la fonction x \mapsto \sqrt{1-x} est une fonction affine composée par une fonction racine carrée.
x \mapsto \sqrt{x} est dérivable sur l'intervalle tel que 1-x > 0 \Leftrightarrow x < 1 .
Ainsi, f est dérivable sur \left] \dfrac{1}{2}; +\infty \right[ \cap \left] -\infty ; 1 \right[ .
f est donc dérivable sur \left] \dfrac{1}{2} ; 1 \right[ .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La fonction f est de la forme f = uv , avec u et v des fonctions dérivables.
On a u(x) = \sqrt{2x-1} donc u'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}
et v(x) = \sqrt{1-x} , v'(x) = - \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}
D'après le cours :
f' = u' v + u v'
Donc :
f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} \times \sqrt{1-x} + \sqrt{2x-1} \times \dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}
En mettant tout au même dénominateur :
f'(x) = \dfrac{2\sqrt{1-x}^2 + (-1) \sqrt{2x-1}^2}{2\sqrt{1-x}\sqrt{2x-1}}
f'(x) = \dfrac{2(1-x) + (-1)(2x-1)}{2\sqrt{1-x}\sqrt{2x-1}}
f'(x) = \dfrac{2 - 2x + -2x+1}{2\sqrt{1-x}\sqrt{2x-1}}
Ainsi, f'(x) = \dfrac{3 - 4x}{2\sqrt{1-x}\sqrt{2x-1}} .
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = \dfrac{3 - 4x}{2\sqrt{1-x}\sqrt{2x-1}} donc f'(x) est du signe de 3 - 4x .
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 3 - 4x < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 4x > 3
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}
Comme f est dérivable sur \left] \dfrac{1}{2} ; 1 \right[ , f' est négative sur \left] \dfrac{3}{4} ; 1 \right[ .