Soit f une fonction dérivable en x_0 \in \mathbb{R} .
On cherche l'équation de la tangente à la courbe associée à f en x_0 .
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x_0 d'une fonction f ?
Le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction f entre x_0 et x_0 + h .
Le taux d'accroissement entre x et x + h s'écrit :
\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
Le nombre dérivé de f en x_{0} est donc \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} .
Que représente le nombre dérivé en x_0 d'une fonction f ?
Le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction f entre x_0 et x_0 + h .
Or, le taux d'accroissement est le coefficient directeur de la droite entre les points de coordonnées respectives \left( x_0;f(x_0) \right) et \left( x_0+h;f(x_0+h) \right) .
Quand h \to 0 , ce taux tend donc vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe associée à f en x = x_0 .
Quelle équation peut-on résoudre pour trouver l'ordonnée à l'origine b de la tangente à la courbe associée à f en x_0 ?
L'équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées s'écrit :
y = a \times x + b , a,b \in \mathbb{R}
Où :
- a est le coefficient directeur ;
- b est l'ordonnée à l'origine.
Or, le coefficient directeur de la tangente à f en x = x_0 est f'(x_0) , donc a = f'(x_0) .
De plus, au point de contact entre la tangente et la courbe, on a :
y_0 = f(x_0) = f'(x_0) \times x_0 + b car le point de coordonnées (x_0; y_0) appartient à la fois à la tangente et à la courbe représentative de f .
L'équation à résoudre est donc f(x_0) = f'(x_0) \times x_0 + b .
Quelle est l'équation de la tangente à f en x = x_0 ?
On a :
a = f'(x_0)
et
f(x_0) = f'(x_0) \times x_0 + b \Leftrightarrow b = f(x_0) - f'(x_0) \times x_0
Donc l'équation de la tangente à la courbe associée à f en x_{0} est :
y = f'(x_0) \times x + f(x_0) - f'(x_0) \times x_0
Ainsi, y = f'(x_0) \left( x - x_0 \right) + f(x_0) .