Dériver une fonction affine composée par une fonction racine carrée Exercice

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left[ -2,+\infty \right[, f(x)=\sqrt{2x+4}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left[ -2,+\infty \right[, f(x)=g(2x+4)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left] -2,+\infty \right[, f'(x)=2\times \dfrac{1}{2\sqrt{2x+4}}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left] -\infty, \dfrac{2}{3} \right], f(x)=\sqrt{-3x+2}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left] -\infty, \dfrac{2}{3} \right], f(x)=g(-3x+2)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left] -\infty, \dfrac{2}{3} \right[, f'(x)=(-3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{-3x+2}}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left[ \dfrac{4}{3},+\infty \right[, f(x)=\sqrt{6x-8}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left[ \dfrac{4}{3},+\infty \right[, f(x)=g(6x-8)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]\dfrac{4}{3},+\infty \right[, f'(x)=(6)\times \dfrac{1}{2\sqrt{6x-8}}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left]-\infty , -\dfrac{5}{2}\right], f(x)=\sqrt{-4x-10}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left]-\infty , -\dfrac{5}{2}\right], f(x)=g(-4x-10)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]-\infty , -\dfrac{5}{2}\right[, f'(x)=(-4)\times \dfrac{1}{2\sqrt{-4x-10}}

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left[ \dfrac{-3}{8},+\infty \right[, f(x)=\sqrt{8x+3}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left[ \dfrac{-3}{8},+\infty \right[, f(x)=g(8x+3)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left] \dfrac{-3}{8},+\infty \right[, f'(x)=8\times \dfrac{1}{2\sqrt{8x+3}}