Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^* :
f(x) = \left(5x-\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un produit de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto \left(5x - \dfrac{1}{x} \right) est dérivable sur \mathbb{R}^* car x \mapsto \dfrac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R}^* .
La fonction x \mapsto \sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
f est donc dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La fonction f est de la forme f = uv , avec u et v des fonctions dérivables.
Comme u(x) = 5x - \dfrac{1}{x} , u'(x) = 5 + \dfrac{1}{x^2} et v(x) = \sqrt{x} , v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .
D'après le cours :
f' = u' v + u v'
Donc :
f'(x) = \left( 5 + \dfrac{1}{x^2} \right) \times \sqrt{x} + \left( 5x - \dfrac{1}{x} \right) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
En mettant tout au même dénominateur :
f'(x) = \dfrac{\left( 5 + \dfrac{1}{x^2} \right) \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \times \sqrt{x} + \left( 5x - \dfrac{1}{x} \right) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{\left( 5 + \dfrac{1}{x^2} \right) \times 2x}{2\sqrt{x}}+ \left( 5x - \dfrac{1}{x} \right) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{ 10x + \dfrac{2}{x} + 5x -\dfrac{1}{x} } {2 \sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{ 15x + \dfrac{1}{x} } {2 \sqrt{x}}
Ainsi, f'(x) = \dfrac{ 15x^2 +1 } {2 x \sqrt{x}} .
Quelles sont les racines du polynôme 15x^2 +1 ?
Pour trouver les racines du polynôme 15x^2 +1 , il faut résoudre :
15x^2 + 1 = 0
\Leftrightarrow 15x^2 = -1
\Leftrightarrow x^2 = -\dfrac{1}{15}
Ce qui est impossible, car un carré est toujours positif.
Ainsi, S = \varnothing .
Sur quel intervalle a-t-on f' > 0 ?
f'(x) = \dfrac{ 15x^2 +1 } {2 x \sqrt{x}} donc f'(x) est du signe de 15x^2 + 1 .
Comme 15x^2 + 1 ne s'annule jamais, il est toujours du signe de a , c'est-à-dire positif.
f' est donc positive sur \mathbb{R_+^*} .