Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^* :
f(x)=\frac{5x+1}{x^3}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto \left(5x+ 1 \right) est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto x^3 est dérivable sur \mathbb{R} . Or, elle s'annule en x=0, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = 5x + 1 donc u'(x) = 5
et v(x) = x^3 donc v'(x) = 3x^2
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} donc :
f'(x) = \dfrac{5 \times x^3 - (5x+1) \times 3x^2 }{x^6}
f'(x) = \dfrac{5 x^3 - (15x^3+3x^2) }{x^6}
f'(x) = \dfrac{5 x^3 - 15x^3 - 3x^2 }{x^6}
f'(x) = \dfrac{- 10x^3 - 3x^2 }{x^6}
En simplifiant x^2 au numérateur et au dénominateur, on obtient donc :
f'(x) = - \dfrac{10x + 3 }{x^4}
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = - \dfrac{10x + 3 }{x^4} donc f'(x) est du signe de -10x-3 .
f'(x) < 0 \Leftrightarrow -10x-3 < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 10x > -3
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{3}{10}
Comme f est dérivable sur \mathbb{R}^* , f' est donc négative sur :
\left] -\dfrac{3}{10} ; +\infty \right[ \backslash \{0\}