Soit f la fonction inverse telle que f(x) = \dfrac{1}{x}.
Vrai ou faux ? f est définie sur \mathbb{R}^*.
Vrai. La fonction inverse est définie sur \mathbb{R}^*. En effet, pour x=0, f(x) \not \in \mathbb{R}.
Soit f la fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* telle que f(x) = \dfrac{1}{x}.
Soient a un réel quelconque et h un réel non nul.
On note \tau_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Vrai ou faux ? f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l = \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f, a, a+h} et on a alors f'(a) = l.
Vrai. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h\to 0}\tau_{f,a,a+h}=l\\
On a alors f'(a)=l.
Soit f la fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* telle que f(x) = \dfrac{1}{x}.
Soient a et h deux réels non nuls tels que a+h \not = 0.
On note \tau_{f,a,a+h} le taux de variation de f entre a et a+h.
Que vaut f'(a) ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = l\\\Leftrightarrow \lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = l
On a alors f'(a) = l.
Or, ici :
\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\`\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{\dfrac{a}{a(a+h)}- \dfrac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=\dfrac{-\dfrac{h}{a(a+h)}}{h}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=-\dfrac{h}{ha(a+h)}\\\\\Leftrightarrow\tau_{f,a,a+h}=-\dfrac{1}{a(a+h)}\\
Or :
\lim\limits_{h \to 0} a(a+h) = a^2\\\Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} -\dfrac{1}{a(a+h)} = -\dfrac{1}{a^2}\\
D'où :
\lim\limits_{h \to 0} \tau_{f,a,a+h} = -\dfrac{1}{a^2}
f est donc dérivable en a et on a :
f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}
Soit f la fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* telle que f(x) = \dfrac{1}{x}.
Vrai ou faux ? f est dérivable en 0.
Faux. f n'étant pas définie pour x=0, elle n'est pas dérivable pour x=0.
Soit f la fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* telle que f(x) = \dfrac{1}{x}.
Quelle est la formule de dérivation de f ?
On a trouvé, \forall a \in \mathbb{R}^*, f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}.
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}