Dériver une somme de fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée, puissance et de fonctions affines composées par une fonction carré, cube, inverse, racine carrée ou puissance Exercice

Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u + v + w est une fonction dérivable sur I et f'=u' + v' + w'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 7(x+1)^3-6x^2+5x+4
• \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=3\sqrt{x}
• \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=-\dfrac{5}{x}

 

On a :
u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}.

Et :
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=21(x+1)^2-12x+5=21x^2+42x+21-12x+5=21x^2+30x+26

v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_* et :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*,  v'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}

w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*, w'(x)=\dfrac{5}{x^2}

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^+_*.

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u+v est une fonction dérivable sur I et f'=u'+v'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=(3x+2)^2+7x^7
• \forall x \in \mathbb{R}^*, v(x)=\dfrac{4}{x} 

 

On a :

u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=3\times2(3x+2)+7\times7x^6=49x^6+18x+12

v est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*, v'(x) = \dfrac{-4}{x^2}

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*.

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, alors la fonction f=u+v est une fonction dérivable sur I et f'=u'+v'.

On pose :

• \forall x \in \left[ -\dfrac{1}{2}, +\infty \right[, u(x)=\sqrt{8x+4}
• \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=-14x^3 

 

On a :

u est une fonction racine dérivable sur \forall x \in \left] -\dfrac{1}{2}, +\infty \right[ et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=8\times\dfrac{1}{2\sqrt{8x+4}}=\dfrac{4}{\sqrt{8x+4}}

v est une fonction polynomiale dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = -14\times3x^2=-42x^2

D'où f est dérivable sur \forall x \in \left] -\dfrac{1}{2}, +\infty \right[.

Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction f=u+v+w est une fonction dérivable sur I et f'=u'+v'+w'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=9x
• \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v(x)=5\sqrt{x} 
• \forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace, w(x)=\dfrac{3}{3x-9}

 

On a :

u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=9

v est une fonction inverse racine sur \mathbb{R}^*_+ et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{x}}

w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace et :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace, w'(x)=3\times3\times(-1)\dfrac{1}{(3x-9)^2}

D'où f est dérivable sur \mathbb{R}^*_+\backslash\left\{ 3 \right\}.

Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, alors la fonction f=u+v+w est une fonction dérivable sur I et f'=u'+v'+w'.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=(2x-3)^3
• \forall x \in \mathbb{R}^*_+, v(x)=7\sqrt{x} 
• \forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace{3}\rbrace, w(x)=-\dfrac{3}{x}

 

On a :

u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R} et : 
\forall x \in \mathbb{R}, u'(x)=3\times2(2x-3)^2=6(4x^2-12x+9)=24x^2-72x+54

v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et : 
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, v'(x) = \dfrac{7}{2\sqrt{x}}

w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^* et :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, w'(x)=-3\times(-1)\dfrac{1}{x^2}

D'où f est dérivable sur \forall x \in \mathbb{R}^*_*.