Quel est le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes ?
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x)=x^4+2\sqrt{x}-\dfrac{2}{\dfrac{x}{2}+1}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1, I_2 et I_3. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v+w est I_1\cap I_2\cap I_3.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^4
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=2\sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2 \right\}, w(x)=\dfrac{2}{\dfrac{x}{2}+1}
On a :
- u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}^+_* (on rappelle qu'une fonction racine est dérivable si et seulement si la fonction sous la racine est strictement positive).
- w est une fonction affine composée par une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\} (on rappelle qu'une fonction inverse est dérivable si et seulement si le dénominateur de la fraction est différent de 0).
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\cap I_3=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}^+_*\cap \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}=\mathbb{R}^+_*
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^+_*.
Soit f la fonction définie par :
\forall x > 2, f(x)=4(x-4)^3+2\sqrt{2x-4}-\dfrac{5}{x}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1, I_2 et I_3. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v+w est I_1\cap I_2\cap I_3.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=4(x-4)^3
- \forall x \in \left[2;+\infty\right[, v(x)=2\sqrt{2x-4}
- \forall x \in \mathbb{R}^*, w(x)=\dfrac{-5}{x}
On a :
- u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction affine composée par une fonction racine dérivable sur \left]2;+\infty\right[.
- w est une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}^*.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\cap I_3=\mathbb{R} \cap\left]2;+\infty\right[\cap \mathbb{R}^*=\left]2;+\infty\right[
f est donc dérivable sur \left]2;+\infty\right[.
Soit f la fonction définie par :
\forall x >3, f(x)=28x^4+12x-4-3\sqrt{\dfrac{2x}{3}-2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f=u+v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=28x^4+12x-4
- \forall x \in \left[3;+\infty\right[, v(x)=-3\sqrt{\dfrac{2x}{3}-2}
On a :
- u est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction affine composée par une fonction racine dérivable sur \left]3;+\infty\right[.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R} \cap\left]3;+\infty\right[=\left]3;+\infty\right[
f est donc dérivable sur \left]3;+\infty\right[.
Soit f la fonction définie par :
\forall x < \dfrac{-1}{3}, f(x)=\sqrt{-x}-\dfrac{5}{6x+2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f=u+v est I_1\cap I_2.
On pose :
- \forall x \le 0, u(x)=\sqrt{-x}
- \forall x \in \mathbb{R}\backslash\lbrace\dfrac{-1}{3}\rbrace, v(x)=\dfrac{1}{6x+2}
On a :
- u est une fonction affine composée par une fonction racine dérivable sur \mathbb{R}_-^*.
- v est une fonction affine composée par une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}\backslash\lbrace\dfrac{-1}{3}\rbrace.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2=\mathbb{R}^*_- \cap\mathbb{R}\backslash\lbrace\dfrac{-1}{3}\rbrace=\mathbb{R}^*_-\backslash\lbrace\dfrac{-1}{3}\rbrace
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^*_-\backslash\lbrace\dfrac{-1}{3}\rbrace.
Soit f la fonction définie par :
\forall x >3, f(x)=6x^7+2\sqrt{3x-6}-\dfrac{2}{\dfrac{x}{3}-1}
Soient u, v et w trois fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1, I_2 et I_3. Alors le domaine de dérivabilité de f= u + v+w est I_1\cap I_2\cap I_3.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=6x^7
- \forall x \ge 2, v(x)=2\sqrt{3x-6}
- \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\}, w(x)=\dfrac{2}{\dfrac{x}{3}-1}
On a :
- u est une fonction puissance dérivable sur \mathbb{R}.
- v est une fonction affine composée par une fonction racine dérivable sur \left]2;+\infty\right[.
- w est une fonction affine composée par une fonction inverse dérivable sur \mathbb{R}\backslash \left\{ 3\right\}.
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\cap I_3=\mathbb{R} \cap\left]2;+\infty\right[\cap\mathbb{R}\backslash \left\{ 3\right\}=\left]2;+\infty\right[\backslash\lbrace3\rbrace
f est donc dérivable sur \left]2;+\infty\right[\backslash\lbrace3\rbrace.