Dans chacun des cas suivants, quelle est la réécriture de la fonction f sans valeur absolue ?
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| 2x+1 \right|
Si u est une fonction définie sur \mathbb{R}, alors pour tout réel x :
|u(x)|=\begin{cases}u(x)\text{ si }u(x)\geq 0-u(x)\text{ si }u(x)\leq 0\end{cases}
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| 2x+1 \right|
Ainsi :
|2x+1|=\begin{cases}2x+1\text{ si }2x+1\geq 0\\-(2x+1)\text{ si }2x+1\leq 0\end{cases}
|2x+1|=\begin{cases}2x+1\text{ si }x\geq-\dfrac{1}{2} \\-2x-1\text{ si }x\leq -\dfrac{1}{2}\end{cases}
Donc \forall x \in \mathbb{R} , f(x)=\begin{cases}2x+1\text{ si }x\geqslant -\dfrac{1}{2}\\-2x-1\text{ si }x\leqslant -\dfrac{1}{2}\end{cases}
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| -7x-1 \right|
Si u est une fonction définie sur \mathbb{R}, alors pour tout réel x :
|u(x)|=\begin{cases}u(x)\text{ si }u(x)\geq 0\\-u(x)\text{ si }u(x)\leq 0\end{cases}
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| -7x-1 \right|
Ainsi :
|-7x-1|=\begin{cases}-7x-1\text{ si }-7x-1\geq 0\\-(-7x-1)\text{ si }-7x-1\leq 0\end{cases}
|-7x-1|=\begin{cases}-7x-1\text{ si }x\leq \frac{-1}{7}\\-(-7x-1)\text{ si }x\geq \frac{-1}{7}\end{cases}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases}-7x-1\text{ si }x\leqslant \frac{-1}{7}\\7x+1\text{ si }x\geqslant \frac{-1}{7}\end{cases}
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| -3x+2 \right|
Si u est une fonction définie sur \mathbb{R}, alors pour tout réel x :
|u(x)|=\begin{cases}u(x)\text{ si }u(x)\geq 0\\-u(x)\text{ si }u(x)\leq 0\end{cases}
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| -3x+2 \right|
Ainsi :
|-3x+2|=\begin{cases}-3x+2\text{ si }-3x+2\geq 0\\-(-3x+2)\text{ si }-3x+2\leq 0\end{cases}
|-3x+2|=\begin{cases}-3x+2\text{ si }x\leq \frac{2}{3}\\3x-2\text{ si }x\geq \frac{2}{3}\end{cases}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \begin{cases}-3x+2\text{ si }x\leq \frac{2}{3}\\3x-2\text{ si }x\geq \frac{2}{3}\end{cases}
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=-2\left| -x+3 \right|
Si u est une fonction définie sur \mathbb{R}, alors pour tout réel x :
|u(x)|=\begin{cases}u(x)\text{ si }u(x)\geq 0\\-u(x)\text{ si }u(x)\leq 0\end{cases}
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=-2\left| -x+3 \right|
Ainsi :
|-x+3|=\begin{cases}-x+3\text{ si }-x+3\geq 0\\-(-x+3)\text{ si }-x+3\leq 0\end{cases}
|-x+3|=\begin{cases}-x+3\text{ si }x\leq 3\\x-3\text{ si }x\geq 3\end{cases}
Pour avoir le résultat final, il faut multiplier chaque ligne par -2 pour finalement obtenir :
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \begin{cases}2x-6\text{ si }x\leq 3\\-2x+6\text{ si }x\geq 3\end{cases}
Soit la fonction f telle que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| x^2-1 \right|
Si u est une fonction définie sur \mathbb{R}, alors pour tout réel x :
|u(x)|=\begin{cases}u(x)\text{ si }u(x)\geq 0\\-u(x)\text{ si }u(x)\leq 0\end{cases}
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\left| x^2-1 \right|
Ainsi :
|x^2-1|=\begin{cases}x^2-1\text{ si }x^2-1\geq 0\\-(x^2-1)\text{ si }x^2-1\leq 0\end{cases}
\forall x \in \mathbb{R} ,f(x) = \begin{cases}x^2-1\text{ si }x\geq 1 \text{ et }x\leq -1\\-x^2+1\text{ si }x\geq -1 \text{ et } x\leq 1\end{cases}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \begin{cases}x^2-1\text{ si }x\geq 1 \text{ et }x\leq -1\\-x^2+1\text{ si }x\geq -1 \text{ et } x\leq 1\end{cases}