Quel est le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes ?
Soit f la fonction définie par :
f(x)=\dfrac{x+1}{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x+1
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
- v(x)=0
- \Leftrightarrow x=0
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R} \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R}^*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}^*.
Soit la fonction f définie par :
f(x)=\frac{2x+3}{5x+2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 2x+3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=5x+2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
- v(x)=0
- \Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ -\dfrac{5}{2} \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R} \text{ \ } \left\{ -\dfrac{5}{2} \right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}\backslash\{-\dfrac{2}{5}\}.
Soit la fonction f définie par :
f(x)=\frac{4x+9}{\sqrt{x}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 4x+9
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=\sqrt x
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R_+^*}
Par ailleurs :
- v(x)=0
- \Leftrightarrow x=0
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R}_+^* \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R}_+^*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}_+^*.
Soit la fonction f définie par :
f(x)=\frac{5x+1}{\ x^3}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 5x+1
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x^3
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
- v(x)=0
- \Leftrightarrow x=0
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R} \text{ \ } \left\{ 0 \right\}=\mathbb{R}^*
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}^*.
Soit la fonction f définie par :
f(x)=\frac{\dfrac{1}{x}}{3x+6}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=3x+6
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^*
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
- v(x)=0
- \Leftrightarrow x=-2
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2 \text{ \ } \left\{ -2 \right\}=\mathbb{R}^* \cap\mathbb{R} \text{ \ } \left\{ -2 \right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{0;-2\right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}\backslash\{-2;0\}.