Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+1)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+1)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2\times 3(2x+1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=6(4x^2+4x+1)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=24x^2+24x+6.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-x+3)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-x+3)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x+3)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=(-1)\times 3(-x+3)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=(-3)(x^2-6x+9)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-3x^2+18x-27.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x-4)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x-4)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x-4)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=(2)\times 3(2x-4)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=6(4x^2-16x+16)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=24x^2-96x+96.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-2x-1)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(-2x-1)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-2x-1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=(-2)\times 3(-2x-1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=(-6)(4x^2+4x+1)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-24x^2-24x-6.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x+2)^3
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x+2)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(3x+2)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3\times 3(3x+2)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=9(9x^2+12x+4)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=81x^2+108x+36.