Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=-3x+2
Déterminer si f est dérivable en 2 et, le cas échéant, donner la valeur de f'(2).
La fonction f est dérivable en a si, et seulement si il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l
Auquel cas, on a f'(a)=l.
Ici, on a, pour a=2 et pour tout h \in \mathbb{R} :
\tau_{f,2{,}2+h} = \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{-3(2+h)+2-(-3\times 2+2)}{h} = \dfrac{-6 -3h + 2 + 6 - 2}{h}=-3
D'où :
\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = -3
On a bien :
-3 \in \mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable en a=2 et f'(2)=-3.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=5x+3
Déterminer si f est dérivable en 1, et le cas échéant donner la valeur de f'(1).
La fonction f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l
Auquel cas, on a f'(a)=l.
Ici, on a, pour a=1 et pour tout h \in \mathbb{R} :
\tau_{f,1{,}1+h} = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{5(1+h)+3-5\times 1-3}{h} = \dfrac{8+5h-8}{h}=5
D'où :
\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = 5
On a bien :
5\in \mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable en a=1 et f'(1)=5.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}_+, f(x)=\sqrt{x}
Déterminer si f est dérivable en 0 et, le cas échéant, donner la valeur de f'(0).
La fonction f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l.
Auquel cas, on a f'(a)=l.
Ici, on a, pour a=0 et pour tout h \in \mathbb{R} :
\tau_{f,0{,}0+h} = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}
D'où :
\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = +\infty
La fonction f n'est donc pas dérivable en 0.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+1)^2
Déterminer si f est dérivable en 1 et, le cas échéant, donner la valeur de f'(1).
La fonction f est dérivable en a si, et seulement si il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l
Auquel cas, on a f'(a)=l.
Ici, on a, pour a=1 et pour tout h \in \mathbb{R} :
\tau_{f,1{,}1+h} = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{(2+h)^2-2^2}{h} = \dfrac{4+4h+h^2-2^2}{h} = 4+h
D'où :
\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = 4
On a bien :
4\in \mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable en a=1 et f'(1)=4.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-2)(-x+3)
Déterminer si f est dérivable en 1 et, le cas échéant, donner la valeur de f'(1).
La fonction f est dérivable en a si et seulement s'il existe un réel l tel que :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=l.
Auquel cas, on a f'(a)=l.
Ici, on a, pour a=1 et pour tout h \in \mathbb{R} :
\tau_{f,1{,}1+h} = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{(-1-h+3)(1+h-2)-(-1+3)(1-2)}{h} = \dfrac{(-h+2)(h-1)+2}{h} =\dfrac{-h^2+3h}{h} = -h+3
D'où :
\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = 3
On a bien :
3\in \mathbb{R}
La fonction f est donc dérivable en a=1 et f'(1)=3.