Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction f(x) ?
D'après le cours, le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction f entre x et x + h .
Le taux d'accroissement entre x et x + h s'écrit :
\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Le nombre dérivé s'écrit donc : \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} .
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x de la fonction f(x) = \sqrt{x} ?
Le nombre dérivé en x d'une fonction f(x) s'écrit :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
En utilisant la fonction f(x) =\sqrt{x} , on a :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x+h} -\sqrt{x} }{h}
En multipliant par le conjugué de la racine au numérateur et au dénominateur, on a :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{x+h} -\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}{h\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x+h-x}{h\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}
En simplifiant les h au numérateur et au dénominateur, le nombre dérivé de la fonction f(x) = \sqrt{x} s'écrit :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}
Quelle est l'expression de la dérivée en x de la fonction f(x) = \sqrt{x} ?
La dérivée d'une fonction f(x) en x correspond au nombre dérivé.
Or, le nombre dérivé de la fonction f(x) = \sqrt{x} est :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}
Donc, pour tout x :
f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{\left( \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)}
La dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x} est donc : f'(x) = \dfrac{1}{2 \sqrt{x} } .
Quel est l'intervalle de définition de la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x} ?
La dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x} est :
f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Or, f' n'est pas définie en 0.
L'intervalle de définition de f' est donc : \mathbb{R}^*_+ .