Donner le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes.
Soit f la fonction définie par :
\dfrac{\sqrt{x}+2x^2+3x^3}{3x-2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^+, u(x)=\sqrt{x}+2x^2+3x^3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=3x-2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}_+^*
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
- 3x-2=0
- \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\}=\mathbb{R}_+^* \cap\mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{2}{3} \right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}_+^*\backslash\{\frac{2}{3}\}.
Soit f la fonction définie par :
\dfrac{2x^5+3x^3+\dfrac{6}{x}}{x^2-1}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=2x^5+3x^3+\dfrac{6}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x^2-1
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^*
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
x^2-1=0
\Leftrightarrow x^2=1
\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \cr \cr x=-1 \end{cases}
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{ -1;1 \right\}=\mathbb{R^*} \cap\mathbb{R} \backslash \left\{ -1;1 \right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}\backslash\{-1;0;1\} .
Soit la fonction f définie par :
f(x)=\frac{\sqrt{x}+2x^3+3}{x-\sqrt{x}}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^+, u(x)=\sqrt{x}+2x^3+3
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=x-\sqrt{x}
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^{+*}
- v dérivable sur \mathbb{R}^{+*}
Par ailleurs :
x-\sqrt{x}=0
\Leftrightarrow x=\sqrt{x}
\t\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \cr \cr x=1 \end{cases
Donc l'ensemble de dérivabilité I de f est :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{ 0;1 \right\}=\mathbb{R}_+^* \cap\mathbb{R}_+^* \backslash \left\{ 1 \right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est \mathbb{R}_+^*\backslash\{1\} .
Soit la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x)=x^3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x)=x^2-2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}
- v dérivable sur \mathbb{R}
Par ailleurs :
x^2-2=0
\Leftrightarrow x^2=2
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\sqrt{2} \cr \cr x=\sqrt{2} \end{cases}
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{-\sqrt{2};\sqrt{2} \right\}=\mathbb{R} \cap\mathbb{R} \backslash \left\{ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}\backslash \{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}.
Soit la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{\sqrt{x}+x^2}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables respectivement sur I_1 et I_2. Alors le domaine de dérivabilité de f= \dfrac{u}{v} est I_1\cap I_2 \backslash \left\{ v(x)=0 \right\}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x)=\dfrac{1}{x}-1
- \forall x \in \mathbb{R}^+, v(x)=\sqrt{x}+x^2
On a :
- u dérivable sur \mathbb{R}^*
- v dérivable sur \mathbb{R}_+^*
Par ailleurs :
\sqrt{x}+x^2=0
\Leftrightarrow x^2=-\sqrt{x}
\Leftrightarrow x=0
L'ensemble de dérivabilité I de f est donc :
I=I_1\cap I_2\backslash \left\{0\right\}=\mathbb{R}^* \cap\mathbb{R}_+^* \backslash \left\{0 \right\}
Le domaine de dérivabilité de la fonction f est donc \mathbb{R}_+^*.