Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+ :
f(x) = (6x+1)*3\sqrt{x}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un produit de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto 6x + 1 est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto \sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
f est donc dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La fonction f est de la forme f = uv , avec u et v des fonctions dérivables.
Comme u(x) = 6x + 1 , u'(x) = 6 et v(x) = 3\sqrt{x} , v'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} .
D'après le cours :
f' = u' v + u v'
Donc :
f'(x) = 6 \times 3\sqrt{x} + (6x+1) \dfrac{3}{2\sqrt{x}}
En mettant tout au même dénominateur :
f'(x) = \dfrac{2 \sqrt{x} \times 18\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + (6x+1) \dfrac{3}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{2 \times 18 x}{2\sqrt{x}} + (6x+1) \dfrac{3}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{2 \times 18 x + 18x+3} {2\sqrt{x}}
Ainsi, f'(x) = 3 \dfrac{(18 x + 1)} {2\sqrt{x}} .
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
Comme f'(x) = 3 \dfrac{(18 x + 1)} {2\sqrt{x}} , elle est du signe de 18x +1 .
Ainsi :
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 18x + 1 < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 18x < -1
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{1}{18}
f' est donc négative sur l'intervalle : \left]-\infty ; - \dfrac{1}{18} \right[ .