Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^* :
f(x) = 3x-1 + \dfrac{1}{x} + x^3
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est une somme de fonctions dérivables.
Les fonctions x \mapsto 3x - 1 et x \mapsto x^3 sont dérivables sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} n'est pas dérivable en 0.
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La dérivée de f est la somme des dérivées qui composent la somme :
f'(x) = (3x - 1)' + \left( \dfrac{1}{x} \right)' + (x^3)'
Ainsi, f'(x) = 3 - \dfrac{1}{x^2} + 3x^2 .
Quelles sont les racines du polynôme 3X^2 + 3X - 1 ?
Pour calculer les racines d'un polynôme du second degré, il faut d'abord calculer son discriminant.
Le discriminant \Delta d'une fonction du second degré f(X) = aX^2 + bX + c est le nombre réel :
\Delta = b^2 - 4ac
Ici :
\forall X \in \mathbb{R} , f(X) = 3X^2 + 3X - 1
Donc :
\Delta = (3)^2 - 4 \times 3 \times (-1)
\Delta = 9 + 12
\Delta = 21
Comme \Delta > 0 , le trinôme admet deux racines distinctes, notées X_{1} et X_{2} :
- X_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
- X_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
En remplaçant par les valeurs numériques :
X_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{6}
X_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{21}}{6}
X_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}
et
X_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{21}}{6}
X_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{21}}{6}
X_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}
On a donc :
S = \left\{ -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} ; -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} \right\}
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
On cherche à déterminer le signe de la fonction f'(x) = 3 - \dfrac{1}{x^2} + 3 x^2 .
En mettant tous les termes au même dénominateur, f' s'écrit :
f'(x) = \dfrac{3x^2 - 1 + 3x^4}{x^2}
f' est donc du signe de 3x^2 - 1 + 3x^4 .
En effectuant le changement de variable X = x^2 , l'expression précédente se ramène au polynôme du second degré (E) : 3X^2 + 3X - 1 .
Trouver les racines de (E)
Les racines de ce polynôme sont :
X \in \left\{ -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} ; -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} \right\}
Trouver les racines de f'
Comme X = x^2 , pour déterminer les solutions de f', on résout les équations suivantes :
x^2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} qui n'a pas de solution car x^2 est toujours positif et -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} < 0 .
Et :
x^2 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}
\Leftrightarrow x = -\sqrt{ -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}} ou x = \sqrt{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}}
Déduire le signe de f'
f' < 0 à l'intérieur des racines.
On a donc :
f' < 0 \Leftrightarrow x \in \left] - \sqrt{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} }; \sqrt{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2} } \right[