Soient deux fonctions f et g dérivables sur leur intervalle de définition.
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction f(x) ?
D'après le cours, le nombre dérivé est la limite pour h \to 0 du taux d'accroissement de la fonction h entre x et x + h .
Le taux d'accroissement entre x et x + h s'écrit :
\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Le nombre dérivé s'écrit donc :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
Quelle est l'expression du nombre dérivé en x d'une fonction f \times g (x) ?
Le nombre dérivé en x d'une fonction m(x) s'écrit :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{m(x+h)-m(x)}{h}
En utilisant la fonction m = f \times g , on a :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ (fg)(x+h) -(fg)(x) }{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x) }{h}
On introduit le terme nul \dfrac{-f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h)}{h} pour faire apparaître deux nombres dérivés :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) -f(x)g(x) }{h}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ \left( f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) \right) + \left( f(x)g(x+h) -f(x)g(x) \right)}{h}
\lim\limits_{h \to 0} \left[ \dfrac{ \left( f(x+h) -f(x) \right)g(x+h)}{h} + \dfrac{\left( g(x+h) -g(x) \right)f(x)}{h} \right]
En séparant les termes, on a donc :
\lim\limits_{h \to 0} \left[ \left( \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \right) g(x+h) + \left( \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) f(x) \right]
Quelle est l'expression de la dérivée en x de la fonction f \times g ?
La dérivée d'une fonction f(x) en x correspond au nombre dérivé.
Or, le nombre dérivé de la fonction fg est :
\lim\limits_{h \to 0} \left[ \left( \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \right) g(x+h) + \left( \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) f(x) \right]
On peut séparer les limites :
\lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \right) g(x+h) + \lim\limits_{h \to 0} \left( \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) f(x)
On reconnaît l'expression de f'(x) et g'(x) .
On en déduit donc :
(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)