Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \{1\} :
f(x) = \dfrac{x(x-3)}{(x-1)^2}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto x(x-3) est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto (x-1)^2 est dérivable sur \mathbb{R} . De plus, elle s'annule en x=1, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} \backslash \{1\} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = x(x-3) = x^2 - 3x donc u'(x) = 2x - 3
et v(x) = (x-1)^2 donc v'(x) = 2(x-1) .
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} , donc :
f'(x) = \dfrac{(2x - 3) \times (x-1)^2 - x(x-3) \times 2(x-1) }{\left(x -1 \right)^4}
En simplifiant par (x-1) au numérateur et au dénominateur :
f'(x) = \dfrac{(2x - 3) \times (x-1) - 2x(x-3) }{\left(x -1 \right)^3}
f'(x) = \dfrac{2x^2 - 2x - 3x +3 - 2x^2 + 6x }{\left(x -1 \right)^3}
La fonction dérivée de la fonction f est donc :
f'(x) = \dfrac{ 3 + x }{\left(x -1 \right)^3}
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = \dfrac{ 3 + x }{\left(x -1 \right)^3}
On doit étudier le signe de 3 + x et de (x-1)^3 .
3 + x < 0 \Leftrightarrow x < -3
et
(x-1)^3 < 0 \Leftrightarrow x-1 < 0
(x-1)^3 < 0 \Leftrightarrow x < 1
Le tableau de signes de f' est le suivant :
f' est donc négative sur l'intervalle ] -3 ; 1 [ .