Soit f(x) = (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6 définie sur \mathbb{R} .
On cherche le signe de f .
Quelle forme convient le mieux ?
Lorsqu'on cherche le signe d'une expression, on cherche souvent à dresser un tableau de signes de chaque facteur.
Ici, la forme factorisée nous permet donc d'étudier chaque facteur séparément pour trouver le signe global de l'expression.
Ainsi, la forme factorisée est celle qui convient le mieux : f(x)=\left( x-2 \right)\left( x+3 \right).
Soit f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 définie sur \mathbb{R} .
On cherche les racines de f .
Quelle forme convient le mieux ?
Lorsqu'on cherche les racines d'une expression, on cherche souvent à factoriser l'expression.
En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement un de ses facteurs est nul.
Ici, la forme factorisée nous permet donc d'étudier chaque facteur séparément pour trouver leur(s) racine(s).
Ainsi, la forme factorisée est celle qui convient le mieux : f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) .
Soit f(x) = (x+3)(x+4) = x^2 + 7x + 12 définie sur \mathbb{R} .
On cherche les limites en -\infty et +\infty de f .
Quelle forme convient le mieux ?
Lorsqu'on souhaite étudier les limites d'une expression aux bornes de l'intervalle de définition, il faut comparer le poids de chaque terme dans l'expression.
Ici, on a une expression polynomiale, on sait dont qu'en -\infty et + \infty , le terme de plus haut degré l'emporte.
f(x) = x^{2}+7x + 12 = x^{2}\left( 1+\dfrac{7}{x}+\dfrac{12}{x^{2}} \right)
Ainsi, la forme qui convient est f(x) = x^2 + 7x + 12 .
Soit f(x) = (x-1)^2 + 4 = x^2 -2x + 5 définie sur \mathbb{R} .
On veut prouver que 4 est un minimum de f .
Quelle forme convient le mieux ?
Pour trouver le minimum d'une fonction f , on souhaite l'écrire sous la forme d'une somme.
Le premier terme (x-1)^{2} est un terme toujours positif, et le second +4 est la valeur du minimum.
Ainsi, on montre qu'elle est toujours au-dessus du minimum, et que potentiellement il est également atteint pour x=1.
On a, pour x\in\mathbb{R} :
\left( x-1\right)^{2}\geqslant0\\\left( x-1 \right)^{2}+4\geqslant4\\f(x)\geqslant4
Et :
f(1)=\left( 1-1 \right)^{2}+4=4
Ainsi, la forme qui convient est f(x)=(x-1)^{2}+4.
Soit f(x) = -(x+1)^2 +3 = -x^2 -2x + 2 définie sur \mathbb{R} .
On veut prouver que 3 est un maximum de f .
Quelle forme convient le mieux ?
Pour trouver le maximum d'une fonction f , on souhaite l'écrire sous la forme d'une somme.
Le premier terme -(x+1)^{2} est un terme toujours négatif, et le second +3 est la valeur du maximum.
Ainsi, on montre qu'elle est toujours en dessous du maximum, et que potentiellement il est également atteint pour x = -1.
Pour tout x\in\mathbb{R} :
\left( x +1\right)^{2}\geqslant0\\-\left( x+1 \right)^{2}\leqslant0\\-\left( x+1 \right)^{2}+3\leqslant3
Et :
f(-1)=-\left( -1+1 \right)^{2}+3 = 0+3 = 3
Ainsi, la forme qui convient est f(x) = -(x+1)^2 +3 .