On veut comparer \sqrt{ab} et \dfrac{1}{2}(a+b) , a, b > 0 .
Quelle est la forme développée de \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 avec a, b \in \mathbb{R}_+^* ?
On applique la formule de l'identité remarquable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 = \left( \sqrt{a} \right)^2 - 2 \left(\sqrt{a}\right) \left(\sqrt{b}\right) + \left( \sqrt{b} \right)^2
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 = a - 2 \left(\sqrt{a}\right) \left(\sqrt{b}\right) + b
Ainsi :
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 = a - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b
Comment s'écrit \dfrac{a+b}{2} en fonction de \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 , a, b \in \mathbb{R}_+^* ?
On a \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 = a - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b = a + b - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} .
En ajoutant 2 \sqrt{a} \sqrt{b} à chaque membre de l'égalité précédente, on a :
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2 + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} = a + b
En divisant chaque membre de l'égalité par 2 , on obtient :
\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} + \sqrt{a} \sqrt{b}
Quel est le signe de \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} avec a, b \in \mathbb{R}_+^* ?
Le terme \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} \geq 0 est un carré, il est donc toujours positif.
Il s'annule si a = b .
Ainsi :
\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} \geq 0
Quelle relation a-t-on entre \sqrt{ab} et \dfrac{1}{2}(a+b) , a, b > 0 ?
Dans l'égalité :
\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} + \sqrt{a} \sqrt{b}
Le terme \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} est toujours positif.
Ainsi :
\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} \geq \sqrt{a}\sqrt{b}
Donc \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.