Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{x+3}{x-1}\leqslant2
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x-1\neq0
Or x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{x+3}{x-1}\leqslant2
\dfrac{x+3}{x-1}-2\leqslant0
\dfrac{x+3}{x-1}-\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}\leqslant0
\dfrac{x+3-2x+2}{x-1}\leqslant0
\dfrac{-x+5}{x-1}\leqslant0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- -x+5\leqslant0 \Leftrightarrow -x\leqslant-5 \Leftrightarrow x\geqslant5
- x-1\leqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant1
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est négative.
S=\left]-\infty;1\right[\cup\left[5;+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{3x-1}{x-2}+\dfrac{4}{6-3x}\gt0
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x-2\neq0 et 6-3x\neq0
Or :
- x-2=0\Leftrightarrow x=2
- 6-3x=0\Leftrightarrow 6=3x\Leftrightarrow x=2
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 2 \right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{3x-1}{x-2}+\dfrac{4}{6-3x}\gt0
\dfrac{-3\left(3x-1\right)}{-3\left(x-2\right)}+\dfrac{4}{6-3x}\gt0
\dfrac{-9x+3}{6-3x}+\dfrac{4}{6-3x}\gt0
\dfrac{-9x+3+4}{6-3x}\gt0
\dfrac{-9x+7}{6-3x}\gt0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- -9x+7\leqslant0 \Leftrightarrow -9x\leqslant-7 \Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{7}{9}
- 6-3x\leqslant0 \Leftrightarrow -3x\leqslant-6 \Leftrightarrow x\geqslant2
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est strictement positive.
S=\left]-\infty;\dfrac{7}{9}\right[\cup\left]2;+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{-x-2}{x+1}+\dfrac{3}{2x+2}\leqslant0
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x+1\neq0 et 2x+2\neq0
Or :
- x+1=0\Leftrightarrow x=-1
- 2x+2=0\Leftrightarrow 2x=-2\Leftrightarrow x=-1
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{-x-2}{x+1}+\dfrac{3}{2x+2}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{2\left(-x-2\right)}{2\left(x+1\right)}+\dfrac{3}{2x+2}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{-2x-4}{2x+2}+\dfrac{3}{2x+2}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{-2x-4+3}{2x+2}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{-2x-1}{2x+2}\leqslant0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- -2x-1\leqslant0 \Leftrightarrow -2x\leqslant1 \Leftrightarrow x\geqslant-\dfrac{1}{2}
- 2x+2\lt0 \Leftrightarrow 2x\lt-2 \Leftrightarrow x\gt-1
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est négative ou nulle.
S=\left]-\infty;-1\right[ \cup \left[ -\dfrac{1}{2};+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{4-2x}{x+4}\geqslant-2
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x+4\neq0
Or x+4=0\Leftrightarrow x=-4
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -4 \right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{4-2x}{x+4}\geqslant-2
\Leftrightarrow \dfrac{4-2x}{x+4}+2\geqslant0
\Leftrightarrow \dfrac{4-2x}{x+4}+\dfrac{2\left(x+4\right)}{x+4}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{4-2x+2x+8}{x+4}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{12}{x+4}\geqslant0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- Le numérateur est positif.
- x+4\leqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant-4
Le signe est donc le même que celui du dénominateur.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est positive.
S=\left]-4;+\infty\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{x}{x-1}\gt3
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x-1\neq0
Or x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1\right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{x}{x-1}\gt3
\dfrac{x}{x-1}-3\gt0
\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{3\left(x-1\right)}{x-1}\gt0
\dfrac{x-3\left(x-1\right)}{x-1}\gt0
\dfrac{-2x+3}{x-1}\gt0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- -2x+3\leqslant0 \Leftrightarrow -2x\leqslant-3 \Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{3}{2}
- x-1\leqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant1
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est strictement positive.
S=\left]1;\dfrac{3}{2}\right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{5x-5}{x-2}\leqslant\dfrac{5x+1}{x-1}
Domaine de définition de l'inéquation
L'inéquation est définie lorsque x-2\neq0 et x-1\neq0
Or :
- x-2=0\Leftrightarrow x=2
- x-1=0\Leftrightarrow x=1
Donc l'inéquation est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1;2 \right\}
Se ramener à une étude de signe
Pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.
\dfrac{5x-5}{x-2}\leqslant\dfrac{5x+1}{x-1}
\Leftrightarrow\dfrac{5x-5}{x-2}-\dfrac{5x+1}{x-1}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{\left(5x-5\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}-\dfrac{\left(5x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{\left(5x-5\right)\left(x-1\right)-\left(5x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{5x^{2}-5x-5x+5-\left(5x^{2}-10x+x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{5x^{2}-10x+5-5x^{2}+10x-x+2}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\leqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{7-x}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\leqslant0
Signe du quotient
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
- 7-x\leqslant0 \Leftrightarrow -x\leqslant-7 \Leftrightarrow x\geqslant7
- x-2\leqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant2
- x-1\leqslant0 \Leftrightarrow x\leqslant1
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Les solutions de l'inéquation sont les intervalles pour lesquels l'expression est négative ou nulle.
S=\left]1;2\right[\cup \left[7;+\infty\right[